특이점 (대수기하학)

대수기하학에서 특이점(特異點, 영어: singular point)은 대수다양체를 정의하는 다항식들의 야코비 행렬의 계수가 다른 곳보다 더 작은 점이다.

평면 대수 곡선 ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$은 원점에 특이점을 갖는다.

정의

스킴 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 정칙 스킴(영어: regular scheme)이라고 한다.

• 임의의 (닫힌 점이 아닐 수 있는) 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 줄기 국소환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$가 정칙 국소환이다.

마찬가지로, 스킴 ${\displaystyle X}$의 특이점은 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$가 정칙 국소환이 아니게 되는 점 ${\displaystyle x\in X}$이다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 대수다양체 ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle X}$가 정칙 스킴이라면, ${\displaystyle X}$를 비특이 대수다양체(영어: nonsingular variety)라고 한다.^[1]:32

성질

아핀 대수다양체 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {a}}}$ 및 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle X}$의 특이점이 아니다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$가 ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{k})}$으로 생성된다면, ${\displaystyle k\times n}$ 행렬 ${\displaystyle (\partial f_{i}/\partial x_{j})(x)}$의 계수는 ${\displaystyle n-\dim X}$이다.^[1]:31

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

즉, 모든 정칙 스킴은 정규 스킴이며, 임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여 모든 매끄러운 ${\displaystyle K}$-스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle K}$-스킴 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K}$는 매끄러운 사상이다.
• 정칙 스킴이며, ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K}$는 국소 유한형 사상이다.

예

임의의 대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 및 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 아핀 공간 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{n}=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$ 및 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$은 각각 비특이 ${\displaystyle K}$-대수다양체를 이룬다.

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체에서의 복소 평면 대수 곡선

${\displaystyle \{(x,y)\colon y^{2}-x^{2}(x+1)=0\}\subset \mathbb {A} ^{2}}$

을 생각하자. 이 경우, 1×2 야코비 행렬은

${\displaystyle (-(3x+2)x,2y)}$

이며, 그 계수는 ${\displaystyle (x,y)\in \{(0,0),(-2/3,0)\}}$이면 0, 아니면 1이다. 이 두 점 가운데 ${\displaystyle (0,0)}$은 곡선 위에 있으므로, 이는 대수 곡선의 특이점이다.

같이 보기

• 매끄러운 스킴