페예르의 정리

페예르의 정리(영어: Fejér's theorem)는 푸리에 급수의 체사로 합은 원래 함수로 수렴한다는 정리이다. 헝가리 수학자 페예르 리포트가 증명하였다.

함수 ${\displaystyle f:(-\pi ,\pi )\to \mathbb {C} }$가 르베그 적분 가능하다 하고, ${\displaystyle f(x)}$의 푸리에 급수의 ${\displaystyle n}$번째 체사로 부분합을 ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$라 하자. 만약 점 ${\displaystyle x_{0}}$에서 ${\displaystyle f}$의 좌극한과 우극한이 모두 존재한다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+)+f(x_{0}-)\right).}$

특히 ${\displaystyle f}$가 연속이면, ${\displaystyle \sigma _{n}}$은 ${\displaystyle f}$로 균등수렴한다.

이때 체사로 부분합은 다음과 같이 정의된다. ${\displaystyle f}$의 푸리에 급수의 부분합을

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}}$

이라 하면,

${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(x)}$

이다.

참고 문헌

• Zygmund, Antoni (1968), 《Trigonometric series》 2판, Cambridge University Press (1988에 출판됨), ISBN 978-0-521-35885-9.