균등 수렴

해석학 및 일반위상수학에서 균등 수렴(均等收斂, 영어: uniform convergence) 또는 고른 수렴 또는 평등 수렴(平等收斂) 또는 일양 수렴(一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. 점별 수렴보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, 연속 함수의 열의 균등 극한은 연속 함수다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 ${\displaystyle X}$
• 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$
• 함수의 그물 ${\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}}$
• 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle (f_{n})_{n\in N}}$이 ${\displaystyle f}$로 균등 수렴한다고 하며, ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in N}}$의 균등 극한이라고 한다.

• 임의의 측근 ${\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in N}$이 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f_{n}(x)\approx _{\epsilon }f(x)}$

이는 흔히

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

라고 쓴다. 예를 들어, 만약 ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$가 실수선이며, 함수의 그물 ${\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}$이 실수 값 함수의 열이라면, 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$이 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle n\geq N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \epsilon }$

사실, 균등 수렴은 함수 집합 ${\displaystyle Y^{X}}$의 균등 수렴 위상에서의 수렴이다. 특히, ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$인 경우, 균등 수렴은 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{X}}$ 위에 균등 거리 함수

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|}$

로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.

성질

함의 관계

집합 ${\displaystyle X}$를 정의역으로 하고 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$를 공역으로 하는 함수의 그물 ${\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}}$이 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$로 균등 수렴한다면, ${\displaystyle (f_{n})_{n\in N}}$은 ${\displaystyle f}$로 점별 수렴한다.

집합 ${\displaystyle X}$를 정의역으로 하고 아벨 위상군 ${\displaystyle (Y,+)}$를 공역으로 하는 함수열 ${\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }}$의 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}$이 균등 수렴한다면, ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$는 상수 함수 ${\displaystyle 0\colon X\to Y}$로 균등 수렴한다.

집합 ${\displaystyle X}$를 정의역으로 하고 완비 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$를 공역으로 하는 함수의 그물 ${\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• ${\displaystyle f_{n}}$은 균등 수렴한다.
• ${\displaystyle f_{n}}$은 (${\displaystyle Y^{X}}$의 균등 수렴 균등 구조에 대하여) 코시 그물이다. 즉, 임의의 측근 ${\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in N}$이 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle m,n\gtrsim N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f_{m}(x)\approx _{\epsilon }f_{n}(x)}$

(표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선 ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$은 완비 균등 공간이다. 또한, 함수의 열 ${\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in \mathbb {N} }}$은 그물의 특수한 경우다. 이 경우, 코시 그물 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$이 존재한다.
  • 임의의 ${\displaystyle m,n\geq N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle |f_{m}(x)-f_{n}(x)|\leq \epsilon }$

만약 ${\displaystyle Y}$의 완비성을 가정하지 않는다면, 균등 수렴하는 함수 그물은 코시 그물이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, ${\displaystyle X}$가 한원소 집합인 경우를 생각할 수 있다.

균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법이 존재한다.

• 바이어슈트라스 M-판정법
• 균등 수렴에 대한 디리클레 판정법
• 균등 수렴에 대한 아벨 판정법

연속 함수의 보존

위상 공간 ${\displaystyle X}$를 정의역으로 하고 균등 공간 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}$를 공역으로 하는 연속 함수의 그물 ${\displaystyle (f_{n}\colon X\to Y)_{n\in (N,\lesssim )}}$이 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$로 균등 수렴한다면, ${\displaystyle f}$ 역시 연속 함수다.

증명:

임의의 ${\displaystyle x_{0}\in X}$ 및 임의의 측근 ${\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x_{0}}$을 찾아야 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in U}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})}$

다음을 만족시키는 측근 ${\displaystyle \epsilon /3\in {\mathcal {E}}_{Y}}$을 고르자.

${\displaystyle (\epsilon /3)\circ (\epsilon /3)\circ (\epsilon /3)\subset \epsilon }$

${\displaystyle (\epsilon /3)^{-1}=\epsilon /3}$

가정에 따라, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in N}$이 존재한다.

• 임의의 ${\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }}$ 및 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f_{n}(x)\approx _{\epsilon /3}f(x)}$

${\displaystyle f_{N_{\epsilon }}}$은 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x_{0}}$이 존재한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in U}$에 대하여, ${\displaystyle f_{N_{\epsilon }}(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x_{0})}$

이에 따라, 임의의 ${\displaystyle x\in U}$에 대하여,

${\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x)\approx _{\epsilon /3}f_{N_{\epsilon }}(x_{0})\approx _{\epsilon /3}f(x_{0})}$

이므로

${\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})}$

이다.

반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 공간 ${\displaystyle X}$
• 연속 함수의 단조 그물 ${\displaystyle (f_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n\in (N,\lesssim )}}$. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
  • (연속 함수의 그물) 모든 ${\displaystyle f_{n}}$은 연속 함수다.
  • (단조 그물) 임의의 ${\displaystyle x\in X}$ 및 ${\displaystyle n\lesssim n'}$에 대하여, ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n'}(x)}$
• 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$

디니 정리에 따르면, 만약 ${\displaystyle f_{n}}$이 ${\displaystyle f}$로 점별 수렴한다면, ${\displaystyle f_{n}}$은 ${\displaystyle f}$로 균등 수렴한다. 이는 ${\displaystyle X}$가 콤팩트 공간이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수의 단조열 ${\displaystyle (x\mapsto x^{n})\colon (0,1)\to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$)은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수의 열 ${\displaystyle (x\mapsto nx\exp(-nx^{2}))\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다.

증명:

임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$가 주어졌다고 하자. 임의의 ${\displaystyle n\in N}$에 대하여,

${\displaystyle K_{\epsilon ,n}=\{x\in X\colon |f(x)-f_{n}(x)|\geq \epsilon \}\subseteq X}$

라고 정의하자. ${\displaystyle K_{\epsilon ,n}}$은 콤팩트 공간 ${\displaystyle X}$의 닫힌집합이며, 따라서 콤팩트 집합이다. 임의의 ${\displaystyle n\lesssim n'}$에 대하여,

${\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|=f(x)-f_{n}(x)\gtrsim f(x)-f_{n'}(x)=|f(x)-f_{n'}(x)|}$

이므로, ${\displaystyle K_{n}\supset K_{n'}}$이다. 따라서 ${\displaystyle (K_{\epsilon ,n})_{n\in N}}$은 하향 집합을 이룬다. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in N}}$이 ${\displaystyle f(x)}$로 수렴하므로, ${\displaystyle x\not \in K_{\epsilon ,n}}$인 ${\displaystyle n\in N}$이 존재한다. 즉, ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{n\in N}K_{\epsilon ,n}=\varnothing }$이다. 칸토어 교점 정리에 따라, ${\displaystyle K_{\epsilon ,N_{\epsilon }}=\varnothing }$인 ${\displaystyle N_{\epsilon }\in N}$이 존재한다. 하향성에 따라, 임의의 ${\displaystyle n\gtrsim N_{\epsilon }}$에 대하여 ${\displaystyle K_{\epsilon ,n}=\varnothing }$이다. 즉, ${\displaystyle (f_{n})_{n\in N}}$은 ${\displaystyle f}$로 균등 수렴한다.

적분과의 호환

리만 적분 가능 함수의 열 ${\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}$이 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$로 균등 수렴한다면, ${\displaystyle f}$ 역시 리만 적분 가능 함수이며, 또한

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx}$

이다.

미분과의 호환

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 미분 가능 함수의 열 ${\displaystyle (f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} )_{n\in \mathbb {N} }}$
• 함수 ${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$

또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})\in \mathbb {R} }$이 존재하는 ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$가 존재한다.
• ${\displaystyle f_{n}'}$은 ${\displaystyle g}$로 균등 수렴한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle f_{n}}$은 어떤 미분 가능 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$로 균등 수렴한다.
• ${\displaystyle f'=g}$

정칙 함수의 보존

복소평면의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$를 정의역으로 하는 복소수 값 정칙 함수의 열 ${\displaystyle (f_{n}\colon U\to \mathbb {C} )_{n\in \mathbb {N} }}$이 함수 ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$로 균등 수렴한다면, ${\displaystyle f}$는 정칙 함수다. 이는 모레라 정리의 따름정리다.

예

함수열

${\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} \qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}$

을 생각하자. 만약

${\displaystyle f_{n}(x)=x/n\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])}$

라면, ${\displaystyle f_{n}}$은 0으로 균등 수렴한다. 반면, 만약

${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}\qquad (\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},\;x\in [0,1])}$

라면, ${\displaystyle f_{n}}$은 함수

${\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\in [0,1)\\1&x=1\end{cases}}}$

로 점별 수렴하지만, 균등 수렴하지 않는다.

참고 문헌

• Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniform convergence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Uniform convergence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.