표현환

리 군론에서 표현환(表現環, 영어: representation ring)은 어떤 리 군의 유한 차원 표현들로 생성되는 그로텐디크 환이다.^[1]

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$ (특히, 모든 유한군은 이산 공간으로서 콤팩트 리 군을 이룬다)
• ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ (실수체 또는 복소수체)

그렇다면, ${\displaystyle G}$의 매끄러운 유한 차원 표현

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {K} )}$

들의 동치류들의 집합을 생각하자. (이는 항상 가산 집합이다.) 이는 텐서곱과 직합을 통하여 가환 반환을 이룬다. 그 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 그 곱셈 항등원은 상수 함수인 자명한 1차원 표현

${\displaystyle G\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {K} )}$

${\displaystyle g\mapsto 1}$IHÉS

이다.

따라서, 이 반환의 그로텐디크 환

${\displaystyle \operatorname {R} (G;\mathbb {K} )}$

을 취할 수 있다. 이를 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$계수 표현환이라고 한다. ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$일 때 이 가환환을 ${\displaystyle \operatorname {RO} (G)}$라고 하며, ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$일 때 이 가환환을 ${\displaystyle \operatorname {RU} (G)}$라고 한다.

사원수의 경우

위와 마찬가지로, ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {H} }$(사원수의 나눗셈환)인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 표현의 직합은 잘 정의되지만, 사원수의 비가환성으로 인하여, 표현의 텐서곱을 일반적으로 취할 수 없다. 따라서 이 경우 얻어지는 아벨 군 ${\displaystyle \operatorname {RSp} (G)=\operatorname {R} (G;\mathbb {H} )}$은 일반적으로 가환환의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로, ${\displaystyle \operatorname {RSp} (G)}$는 가환환 ${\displaystyle \operatorname {RO} (G)}$ 위의 가군을 이룬다.

성질

표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 환 준동형

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }\colon \operatorname {RU} (G)\to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \mathbb {Z} }$

이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {RU} (G)}$ 위에는 복소수 켤레 사상에 따라서 자기 동형

${\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RU} (G)}$

이 존재한다. 이는 등급을 보존하는 전단사 환 준동형이다. 마찬가지로, ${\displaystyle \operatorname {RSp} (G)}$ 위에는

${\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {RSp} (G)\to \operatorname {RSp} (G)}$

가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 군 준동형이다.

또한, 복소화에 따라 환 준동형

${\displaystyle (-)^{\mathbb {C} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RU} (G)}$

${\displaystyle (-)^{\mathbb {H} }\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RSp} (G)}$

이 존재한다. 반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라서 덧셈군의 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RO} (G)}$

${\displaystyle \operatorname {RSp} (G)\to \operatorname {RO} (G)}$

이 존재한다. ${\displaystyle \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RO} (G)}$는 유사환의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로, 환 준동형을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계 ${\displaystyle \mathbb {C} \hookrightarrow \mathbb {H} }$의 모듈러스 공간은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{x\in \mathbb {H} \colon {\bar {x}}=-x,\;\|x\|=1\}}$이므로, 이에 따라 망각 사상

${\displaystyle \operatorname {RSp} (G)\times \mathbb {S} ^{2}\to \operatorname {RU} (G)}$

이 존재한다.

외부 자기 동형군 ${\displaystyle \operatorname {Out} (G)}$은 ${\displaystyle \operatorname {RU} (G)}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {RO} (G)}$ 위에 환의 자기 동형으로 작용한다.

함자성

${\displaystyle H}$가 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$의 닫힌집합 부분군일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 환 준동형이 유도된다.

${\displaystyle \operatorname {res} _{H}^{G}\colon \operatorname {RU} (G)\to \operatorname {RU} (H)}$

${\displaystyle \operatorname {res} _{H}^{G}\colon \operatorname {RO} (G)\to \operatorname {RO} (H)}$

이에 따라, ${\displaystyle \operatorname {RU} (H)}$는 ${\displaystyle \operatorname {RU} (G)}$ 위의 유한 생성 가군을 이루며,^{[1]:Proposition 3.2} 마찬가지로 ${\displaystyle \operatorname {RO} (G)}$도 ${\displaystyle \operatorname {RO} (H)}$ 위의 유한 생성 가군을 이룬다.

연결 콤팩트 리 군의 경우

${\displaystyle G}$가 연결 콤팩트 리 군이라고 하고, 그 극대 원환면

${\displaystyle T\leq G}$

및 이에 대한 바일 군

${\displaystyle \operatorname {Weyl} (G,T)\leq \operatorname {Out} (T)}$

을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로

${\displaystyle \operatorname {RU} (G)\cong \operatorname {RU} (T)^{\operatorname {Weyl} (G,T)}}$

이다. 여기서 우변은 ${\displaystyle \operatorname {RU} (T)\cong \mathbb {Z} [x_{1},x_{1}^{-1},\dotsc ,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]}$의 원소 가운데, 바일 군의 작용에 대하여 불변인 것들로 구성된 부분환이다.

유한 아벨 군의 경우

임의의 유한 아벨 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 그 지표군

${\displaystyle {\hat {G}}=\{\phi \in \hom _{\operatorname {Grp} }(G,\mathbb {C} ^{\times }\}}$

을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 군환이다.

${\displaystyle \operatorname {RU} (G)=\mathbb {Z} [{\hat {G}}]}$

예

자명군

자명군의 표현환은 정수환이다.

${\displaystyle \operatorname {RO} (1)=\operatorname {RU} (1)\cong \mathbb {Z} }$

즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다.

순환군

${\displaystyle n}$차 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}$의 경우,

${\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\cong \mathbb {Z} [x]/(x^{n}-1)}$

이며, 그 차원은

${\displaystyle \dim \colon \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle x\mapsto 1}$

이다.

이 동형 아래, ${\displaystyle x}$는 다음과 같은, 1의 거듭제곱근을 통한 1차원 표현에 대응한다.

${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\langle a|a^{n}=1\rangle \to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle a\mapsto \exp(2\pi \mathrm {i} /n)}$

3차 대칭군

3차 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$의 경우,

${\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Sym} (3))\cong \mathbb {Z} [x,y]/(xy-y,x^{2}-1,y^{2}-x-y-1)}$

${\displaystyle \dim x=1}$

${\displaystyle \dim y=2}$

이다. 여기서 ${\displaystyle x}$에 대응하는 1차원 표현은

${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)\mapsto \mathbb {C} ^{\times }}$

${\displaystyle \sigma \mapsto (-)^{\sigma }}$

이며, ${\displaystyle y}$에 대응하는 2차원 표현은 ${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}\colon x+y+z=0\}}$ 위에 벡터 성분의 순열로 작용한다.

원군

원군 ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$의 복소수 계수 표현환은 로랑 다항식의 환

${\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\cong \mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$

이며, 그 차원은

${\displaystyle \dim \colon \operatorname {RU} (\operatorname {Cyc} (n))\to \mathbb {Z} }$

${\displaystyle x\mapsto 1}$

이다. 이 동형 아래, ${\displaystyle x^{k}}$ (${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$)는 다음과 같은 1차원 표현에 대응한다.

${\displaystyle \operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\{z\in \mathbb {C} \colon z\neq 0\}}$

${\displaystyle z\mapsto z^{k}}$

원군의 실수 계수 다항식은 다음과 같은 부분환이다.

${\displaystyle \operatorname {RO} (\operatorname {U} (1))=\{\rho \in \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1))\colon \rho (x)=\rho (x^{-1})\}\leq \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1))}$

원환면군

원환면군

${\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}}$

의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 가환환이다.

${\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {U} (1)^{n})=\mathbb {Z} [x_{1},x_{1}^{-1},x_{2},x_{2}^{-1},\dotsc ,x_{n},x_{n}^{-1}]\cong \mathbb {Z} [y,x_{1},\dotsc ,x_{n}]/(yx_{1}\dotsm x_{n}-1)}$

${\displaystyle \dim \colon x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}\to 1}$

이 동형 아래,

${\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}=\{(z_{1},z_{2},\dotsc ,z_{n})\colon |z_{1}|=\dotsb =|z_{n}|=1\}\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\{z\in \mathbb {C} \colon z\neq 0\}}$

${\displaystyle x_{i}\colon (z_{1},\dotsc ,z_{n})\mapsto z_{i}\qquad (i\in \{1,2,\dotsc ,n\})}$

이다.

유니터리 군

유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$의 경우, 극대 원환면은 대각 행렬

${\displaystyle \operatorname {diag} \colon \operatorname {U} (1)^{n}\hookrightarrow \operatorname {U} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {diag} \colon (z_{1},\dotsc ,z_{n})\mapsto \operatorname {diag} (z_{1},\dotsc ,z_{n})}$

로 구성되며, 이에 따른 바일 군은 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$이다. 즉, 그 표현환은

${\displaystyle \operatorname {RU} (\operatorname {U} (n))=\operatorname {RU} (\operatorname {U} (1)^{n})^{\operatorname {Sym} (n)}\cong \mathbb {Z} [s_{1},s_{2},\dotsc ,s_{n-1},s_{n},s_{n}^{-1}]}$

이다.^{[1]:120, Proposition 3.1} 여기서 ${\displaystyle s_{a}}$는 ${\displaystyle a}$번째 기초 대칭 다항식에 대응된다.

${\displaystyle s_{a}=\prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{a}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dotsb x_{i_{a}}}$

특히, ${\displaystyle s_{1}}$은 유니터리 군의 ${\displaystyle n}$차원 정의 표현이며, 또한 ${\displaystyle s_{n}}$은 행렬식 표현에 해당한다.

${\displaystyle s_{n}=\det \colon \operatorname {U} (1)\to \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \det \colon M\mapsto \det M}$

이는 1차원 표현이므로 역원 ${\displaystyle M\mapsto (\det M)^{-1}}$을 갖는다.