푸앵카레-벤딕손 정리

동적계 이론에서 푸앵카레-벤딕손 정리(영어: Poincaré–Bendixson theorem)는 2차원 평면 위의 연속 시간 동적계에서는 혼돈이 일어나지 않는다는 정리이다.

정의

${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$가 평면 속의 열린집합이라고 하자. ${\displaystyle U}$ 위의 2차원 연속 시간 동역학계

${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {R} \times U\to U}$

${\displaystyle \Phi (t,\Phi (t',x))=\Phi (t+t',x)\qquad \forall t,t'\in \mathbb {R} ,\;x\in U}$

가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 함수라고 하자.

${\displaystyle x\in U}$의 궤도(영어: orbit) ${\displaystyle \gamma (x)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \gamma (x):=\{\Phi (t,x)\colon t\in \mathbb {R} \}}$

${\displaystyle x\in U}$의 ω₊-극한 집합(영어: ω₊-limit set) ${\displaystyle \omega _{+}(x)}$은 다음과 같다.

${\displaystyle \omega _{+}(x):=\left\{y\in U\colon \exists (t_{i})_{i\in \mathbb {N} }\colon \lim _{i\to \infty }t_{i}=\infty ,\;\lim \Phi (t_{i},x)=y\right\}}$

${\displaystyle x\in U}$의 ω₋-극한 집합(영어: ω₋-limit set) ${\displaystyle \omega _{-}(x)}$은 다음과 같다.

${\displaystyle \omega _{-}(x):=\left\{y\in U\colon \exists (t_{i})_{i\in \mathbb {N} }\colon \lim _{i\to \infty }t_{i}=-\infty ,\;\lim \Phi (t_{i},x)=y\right\}}$

${\displaystyle \omega _{+}(x)}$가 다음 네 조건들을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle \omega _{+}(x)\neq \varnothing }$
• ${\displaystyle \omega _{+}(x)}$는 콤팩트 집합이다.
• ${\displaystyle \omega _{+}(x)}$는 연결 공간이다.
• ${\displaystyle \omega _{+}(x)}$에 속하는 고정점은 유한 개이다.

그렇다면, 푸앵카레-벤딕손 정리에 따르면 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.^{[1]:223, Theorem 7.16}

• ${\displaystyle \omega _{+}(x)=\{x_{1}\}}$는 고정점이다.
• ${\displaystyle \omega _{+}(x)=\gamma (y)}$는 (양의 주기를 갖는) 주기적 궤도이다. 즉, ${\displaystyle \Phi (t,y)=y}$인 ${\displaystyle t>0}$가 존재한다.
• ${\displaystyle \omega _{+}(x)=\{x_{1},\dots ,x_{k}\}\cup \gamma (y_{1})\cup \cdots \cup \gamma (y_{n})}$는 유한 개의 고정점 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$과 비주기 궤도 ${\displaystyle \gamma (y_{1}),\dots ,\gamma (y_{n})}$들로 구성되며, 모든 ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ 및 ${\displaystyle \sigma \in \{+,-\}}$에 대하여, ${\displaystyle \omega _{\sigma }(y_{i})=\{x_{j(\sigma ,i)}\}}$가 되는 ${\displaystyle j\colon \{+,-\}\times \{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,k\}}$가 존재한다. 즉, 각 ${\displaystyle \gamma (y_{i})}$는 ${\displaystyle x_{j(-,i)}}$에서 ${\displaystyle x_{j(+,i)}}$로 가는 궤도이다.

${\displaystyle \omega _{-}}$에 대해서도 마찬가지 정리가 성립한다.

1차원 푸앵카레-벤딕손 정리

푸앵카레-벤딕손 정리는 1차원에서도 (자명하게) 성립한다.^{[1]:277, Problem 7.9} 즉, ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 열린집합 위에서의 연속 시간 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 동역학계에서, 공집합이 아닌, 유한 개의 고정점을 포함하는 콤팩트 연결 ${\displaystyle \omega _{+}}$-극한 집합은 다음 두 가지 가운데 하나이다.

• ${\displaystyle \omega _{+}(x)=\{x_{1}\}}$은 고정점이다.
• ${\displaystyle \omega _{+}(x)=[x_{0},x_{1}]}$에서, ${\displaystyle x_{0}}$과 ${\displaystyle x_{1}}$은 고정점이며, ${\displaystyle \gamma (y)=(x_{0},x_{1})}$인 ${\displaystyle y\in (x_{0},x_{1})}$가 존재한다.

이는 "1차원 벡터장"(=실수 함수)의 중간값 정리의 보조 정리이다.

예

푸앵카레-벤딕손 정리는 평면의 부분 집합에서만 성립한다. 예를 들어, 원환면 위에서는 콤팩트 조밀 비주기 궤도가 존재할 수 있다. 이 경우, ${\displaystyle \omega _{+}}$-극한 집합은 원환면 전체가 된다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 3차원 이상에서 성립하지 않는다. 3차원 이상에서는 로렌즈 방정식과 같이 야릇한 끌개가 존재할 수 있다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 이산 시간 동적계에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 로지스틱 사상은 혼돈 현상을 보이지만, 1차원 계이다.

역사

앙리 푸앵카레^{[2][3][4][5][6][7][8]} 가 1880년대에 제시하였지만, 엄밀한 증명을 제시하지 않았다. 이후 1901년에 이바르 오토 벤딕손(스웨덴어: Ivar Otto Bendixson)이 엄밀한 증명을 제시하였다.^[9]

같이 보기

• 회전수