프라티니 논증

군론에서, 프라티니 논증(-論證, 영어: Frattini argument)는 유한군을 정규 부분군과 이 부분군의 쉴로브 부분군의 정규화 부분군의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$와 소수 ${\displaystyle p}$가 주어졌고, ${\displaystyle N}$이 ${\displaystyle G}$의 유한 정규 부분군이며, ${\displaystyle P}$가 ${\displaystyle N}$의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 프라티니 논증에 따르면, 다음이 성립한다.^{[1]:128, §6.3, Lemma 6.14}

${\displaystyle G=N\operatorname {N} _{G}(P)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(P)}$는 ${\displaystyle G}$ 속 ${\displaystyle P}$의 정규화 부분군이다.

증명

임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle gPg^{-1}}$은 ${\displaystyle N}$의 쉴로브 p-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 ${\displaystyle N}$에서 ${\displaystyle P}$와 켤레이다. 즉,

${\displaystyle ngPg^{-1}n^{-1}=P}$

인 ${\displaystyle n\in N}$이 존재한다. 따라서 ${\displaystyle ng\in \operatorname {N} _{G}(P)}$이며,

${\displaystyle g\in n^{-1}\operatorname {N} _{G}(P)\subseteq N\operatorname {N} _{G}(P)}$

이다.

응용

유한군 ${\displaystyle G}$와 소수 ${\displaystyle p}$가 주어졌고, ${\displaystyle P}$가 ${\displaystyle G}$의 쉴로브 p-부분군이며, ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(P)\leq H\leq G}$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{[1]:129, §6.3, Corollary 6.15}

${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)=H}$

특히,

${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(\operatorname {N} _{G}(P))=\operatorname {N} _{G}(P)}$

이다.

증명:

${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)}$의 정규 부분군이며,

${\displaystyle P\leq \operatorname {N} _{G}(P)\leq H}$

는 ${\displaystyle H}$의 쉴로브 p-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여

${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(H)=H\operatorname {N} _{\operatorname {N} _{G}(H)}(P)\leq H\operatorname {N} _{G}(P)=H\leq \operatorname {N} _{G}(H)}$

이다.

역사

1885년에 조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini)가 유한군의 프라티니 부분군이 멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.