멱영군

군론에서, 멱영군(冪零群, 영어: nilpotent group, 문화어: 제곱령군^[1])은 아벨 군에 가까운 군이다. 구체적으로, 충분히 많은 수의 교환자를 취하면 단위원이 되는 군이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 하중심렬(下中心列, 영어: lower central series)

${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright G_{2}\triangleright \cdots }$

은 다음과 같다.

${\displaystyle G_{0}=G}$

${\displaystyle G_{n+1}=[G_{n},G]}$

군 ${\displaystyle G}$의 상중심렬(上中心列, 영어: upper central series)

${\displaystyle 1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft Z_{2}\triangleleft \cdots }$

은 다음과 같다.

${\displaystyle Z_{0}=1}$

${\displaystyle Z_{n+1}=\{x\in G\colon [x,G]\subset Z_{n}\}}$

상중심렬에서 ${\displaystyle Z_{1}}$은 군 ${\displaystyle G}$의 중심 ${\displaystyle Z(G)}$이다.

임의의 군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다. 멱영군은 이 조건을 만족시키는 군이다.

• 하중심렬이 유한하다. 즉, ${\displaystyle G_{n+1}=1}$인 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$이 존재한다.
• 상중심렬이 유한하다. 즉, ${\displaystyle Z_{n+1}=G}$인 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$이 존재한다.

이 경우, 두 조건을 만족하는 가장 작은 ${\displaystyle n}$은 일치한다. 그렇다면, ${\displaystyle G}$를 n류 멱영군(영어: nilpotent group of class n)이라고 한다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아벨 군 ⊊ 데데킨트 군 ⊊ 멱영군 ⊊ 가해군

즉, 모든 아벨 군 및 데데킨트 군은 멱영군이며, 모든 멱영군은 가해군이다.

멱영군의 부분군은 멱영군이다. 멱영군의 몫군은 멱영군이다. 유한 개의 멱영군의 직접곱은 멱영군이다.

유한군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 멱영군이다.
• 임의의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle H=\operatorname {N} _{G}(H)}$라면, ${\displaystyle H=G}$이다.^{[2]:191, Theorem 3(2)}
• 모든 쉴로브 부분군은 정규 부분군이다.^{[2]:191, Theorem 3(3)}
• 유한 개의 p-군들의 직접곱으로 나타낼 수 있다.^{[2]:191, Theorem 3(4)}
• 모든 극대 진부분군은 정규 부분군이다.^{[2]:193, Proposition 7}
• 모든 가능한 크기(라그랑주 정리)의 정규 부분군이 존재한다.^{[2]:198, Exercise 3}
• 차수가 서로소인 모든 두 원소는 가환한다.^{[2]:198, Exercise 9}

모든 유한 멱영군은 초가해군이다.^{[2]:198, Exercise 4}

증명:

멱영류에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 0류·1류 멱영군은 아벨 군이므로, 자명하게 초가해군이다. 이제, 모든 유한 ${\displaystyle n}$류 멱영군이 초가해군이며, ${\displaystyle G}$가 유한 ${\displaystyle (n+1)}$류 멱영군이라고 가정하자. 즉, ${\displaystyle n+1}$에서 끝나는 하중심렬

${\displaystyle G=G_{0}\vartriangleright G_{1}\vartriangleright \cdots \vartriangleright G_{n+1}=1}$

${\displaystyle G_{i+1}=[G_{i},G]}$

을 갖는다. 그렇다면, 몫군 ${\displaystyle G/G_{n}}$의 하중심렬은

${\displaystyle G/G_{n}=G_{0}/G_{n}\vartriangleright G_{1}/G_{n}\vartriangleright \cdots \vartriangleright G_{n}/G_{n}=1}$

이므로, ${\displaystyle G/G_{n}}$은 ${\displaystyle n}$류 멱영군이다. 귀납법의 가정에 따라, ${\displaystyle G/G_{n}}$은 초가해군이므로, ${\displaystyle G/G_{n}}$의 정규 부분군들의 열

${\displaystyle G/G_{n}=H_{0}/G_{n}\vartriangleright H_{1}/G_{n}\vartriangleright \cdots \vartriangleright H_{r}/G_{n}=1}$

${\displaystyle H_{i}/G_{n}\vartriangleleft G/G_{n}}$

이 존재하며, 각 ${\displaystyle (H_{i}/G_{n})/(H_{i+1}/G_{n})}$은 순환군이다. ${\displaystyle H_{i}}$가 몫 준동형 ${\displaystyle G\to G/G_{n}}$에 대한 ${\displaystyle H_{i}/G_{n}}$의 원상이라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle G=H_{0}\vartriangleright H_{1}\vartriangleright \cdots \vartriangleright H_{r}=G_{n}}$

${\displaystyle H_{i}\vartriangleleft G}$

이며, 각 ${\displaystyle H_{i}/H_{i+1}}$는 순환군이다. 이제,

${\displaystyle 1=G_{n+1}=[G_{n},G]}$

이므로, ${\displaystyle G_{n}}$은 ${\displaystyle G}$의 중심에 포함되며, 특히 아벨 군이다. 따라서, ${\displaystyle G_{n}}$의 합성열

${\displaystyle G_{n}=K_{0}\vartriangleright K_{1}\vartriangleright \cdots \vartriangleright K_{s}=1}$

에서, 각 ${\displaystyle K_{i}/K_{i+1}}$는 (크기가 소수인) 순환군이다. 또한, ${\displaystyle G_{n}}$이 ${\displaystyle G}$의 중심에 포함되므로, 각 ${\displaystyle K_{i}}$는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이다. 따라서, ${\displaystyle G}$의 정규 부분군들의 열

${\displaystyle G=H_{0}\vartriangleright \cdots \vartriangleright H_{r}=K_{0}\vartriangleright \cdots \vartriangleright K_{s}=1}$

${\displaystyle H_{i},K_{i}\vartriangleleft G}$

이 존재하며, 모든 몫군은 순환군이다. 즉, ${\displaystyle G}$는 초가해군이다.

예

아벨 군은 0류 멱영군이다.

사원수군 ${\displaystyle Q_{8}}$은 2류 멱영군이다.

${\displaystyle n\geq 1}$에 대하여, 정이면체군 ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2^{n}}}$은 ${\displaystyle n}$류 멱영군이다. ${\displaystyle n\geq 1}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle n}$이 2의 거듭제곱이 아니라면, ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$은 멱영군이 아니다.