프로베니우스 다양체

미분기하학에서 프로베니우스 다양체(영어: Frobenius manifold)는 접공간에 프로베니우스 대수의 구조가 정의된, 평탄한 리만 다양체이다. 이들은 2차원 위상 양자장론의 모듈라이 공간을 나타낸다.

역사

보리스 두브로빈(Boris Dubrovin)이 정의하였다.^[1]

정의

편의상 아인슈타인 표기법을 사용한다.

프로베니우스 다양체 ${\displaystyle (M,g,A)}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g_{ij})}$
• 3차 텐서장 ${\displaystyle A_{ijk}}$. 이는 두 벡터장의 곱 ${\displaystyle (X*Y)^{k}=A_{ij}{}^{k}X_{i}Y_{j}}$를 정의한다.

이들은 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

• (평탄성) ${\displaystyle (M,g)}$의 리만 곡률이 0이다. 즉, ${\displaystyle R_{ij}{}^{k}{}_{l}=0}$이며, 따라서 공변 미분 ${\displaystyle \nabla }$이 일반 편미분 ${\displaystyle \partial }$과 일치한다.
• (적분가능성) 국소적으로, ${\displaystyle A_{ijk}=\partial _{i}\partial _{j}\partial _{k}\Phi }$인 함수 ${\displaystyle \Phi }$가 존재한다. (이는 대역적으로 성립하지 않을 수 있다.) 이를 프리퍼텐셜(영어: prepotential) 또는 자유 에너지라고 부른다.^[2]:73 이에 따라 ${\displaystyle A_{ijk}}$는 완전 대칭이다. 즉, ${\displaystyle A_{ijk}=A_{jik}=A_{kij}}$이다.
• (결합성) ${\displaystyle *}$는 결합법칙을 따른다. 즉, ${\displaystyle (X*Y)*Z=X*(Y*Z)}$이다. 성분으로 쓰면, ${\displaystyle A_{ij}{}^{l}A_{lk}{}^{m}=A_{il}{}^{m}A_{jk}{}^{l}}$이다.

결합성 조건을 프리퍼텐셜로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle (\partial _{i}\partial _{j}\partial _{l}\Phi )g^{ll'}(\partial _{l'}\partial _{k}\partial _{m}\Phi )=(\partial _{i}\partial _{l}\partial _{m}\Phi )g^{ll'}(\partial _{j}\partial _{k}\partial _{l}\Phi )}$

이를 위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식(영어: Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde equation) 또는 WDVV 방정식이라고 하며, 에드워드 위튼, 로베르튀스 데이크흐라프, 에릭 페를린더(Erik Verlinde), 헤르만 페를린더(Herman Verlinde)가 발견하였다.^[3][4]