프로베니우스 대수

추상대수학에서 프로베니우스 대수(영어: Frobenius algebra)는 호환되는 내적이 주어진 유한 차원 단위 결합 대수이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 결합 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌다고 하자. 이는 스스로 위의 쌍가군 ${\displaystyle _{A}A_{A}}$을 이룬다. 마찬가지로, 그 쌍대 가군

${\displaystyle A^{\vee }=\hom _{K}(A,K)}$

역시 스스로 위의 쌍가군 ${\displaystyle _{A}{A^{\vee }}_{A}}$을 이룬다. 구체적으로,

${\displaystyle a\cdot \phi \cdot b\colon x\mapsto \phi (bxa)}$

이다.

그렇다면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle A}$-왼쪽 가군의 동형 ${\displaystyle _{A}A\cong {}_{A}A^{\vee }}$이 존재한다.
• ${\displaystyle A}$-오른쪽 가군의 동형 ${\displaystyle A_{A}\cong {A^{\vee }}_{A}}$이 존재한다.

증명:

왼쪽 가군의 동형

${\displaystyle \lambda \colon {}_{A}A\to {}_{A}A^{\vee }}$

이 주어졌다고 하자. 즉,

${\displaystyle \lambda (a)(x)=\lambda (a,x)}$

에 대하여,

${\displaystyle \lambda (a,xb)=\lambda (ba,x)}$

라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \rho \colon A\to A^{\vee }}$

${\displaystyle \rho (a)(x)=\lambda (x,a)}$

를 정의하면,

${\displaystyle (\rho (a)\cdot b)(x)=\rho (a)(bx)=\lambda (bx,a)=\lambda (x,ab)=\rho (ab)(x)}$

이므로, ${\displaystyle \rho }$는 오른쪽 가군의 동형이다.

반대 방향의 함의도 마찬가지다.

또한, 이러한 동형이 존재할 필요 조건은 물론 ${\displaystyle A}$가 유한 차원 ${\displaystyle K}$-벡터 공간인 것이다.

이러한 동형이 갖추어진 ${\displaystyle K}$-결합 대수를 프로베니우스 대수라고 한다.

프로베니우스 대수 ${\displaystyle (A,\lambda \colon {}_{A}A\to {}_{A}A^{\vee })}$가 주어졌다면, 다음과 같은 구조들을 추가로 정의할 수 있다. 우선,

${\displaystyle \langle a,b\rangle =\lambda (1)(ab)}$

를 정의하자. 그렇다면,

${\displaystyle \langle ac,b\rangle =\lambda (1)(acb)=\langle a,cb\rangle }$

이 성립한다. ${\displaystyle \lambda }$가 벡터 공간의 동형이므로, ${\displaystyle \langle -,-\rangle }$는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이를 프로베니우스 형식이라고 한다.

또한, 대각합

${\displaystyle \operatorname {tr} \colon A\to k}$

${\displaystyle \operatorname {tr} \colon a\mapsto \lambda (1)(a)}$

을 정의할 수 있다.

만약 ${\displaystyle \operatorname {tr} (ab)=\operatorname {tr} (ba)}$라면, ${\displaystyle V}$를 대칭 프로베니우스 대수(영어: symmetric Frobenius algebra)이라고 한다.

가환환인 프로베니우스 대수를 가환 프로베니우스 대수(영어: commutative Frobenius algebra)라고 한다.

프로베니우스 대상

보다 일반적으로 모노이드 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,1)}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 반대 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} },\otimes ,1)}$ 역시 같은 텐서곱으로 모노이드 범주를 이룬다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 프로베니우스 대상(영어: Frobenius object)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 모노이드 대상 ${\displaystyle (A,\mu \colon A\otimes A\to 1,\eta \colon 1\to A)}$
• 쌍대 모노이드 대상 (즉, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$의 모노이드 대상) ${\displaystyle (A,\delta \colon A\to A\otimes A,\eta \colon A\to 1)}$

이 두 구조는 다음과 같은 호환 관계를 만족시켜야 한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\!\!\!\!A^{\otimes 3}\!\!\!\!\\&{\!\!\!\!^{\delta \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\nearrow {\color {White}^{\delta \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\!\!\!\!^{\operatorname {id} \otimes \mu }\!\!\!\!}\searrow {\!\!\!\!^{\operatorname {id} \otimes \mu }\!\!\!\!}\\A^{\otimes 2}\!\!\!\!&\!\!\!\!{\underset {\mu }{\to }}\!\!\!\!&\!\!\!\!A\!\!\!\!&\!\!\!\!{\underset {\delta }{\to }}\!\!\!\!&\!\!\!\!A^{\otimes 2}\\&{\!\!\!\!_{\operatorname {id} \otimes \delta }\!\!\!\!}\searrow {\color {White}_{\operatorname {id} \otimes \delta }\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\!\!\!\!_{\mu \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\nearrow {\!\!\!\!_{\mu \otimes \operatorname {id} }\!\!\!\!}\\&&\!\!\!\!A^{\otimes 3}\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

(편의상, 모노이드 범주의 결합자 등을 생략하였다.)

위상 양자장론과의 관계

바지 곡면(영어: pair of pants). 이 곡면에서의 분배 함수는 가환 프로베니우스 대수의 곱셈을 정의한다.

2차원 위상 양자장론은 가환 프로베니우스 대수로 나타내어진다.^{[1][2]:24–27} 정확히 말하면, (복소) 가환 프로베니우스 대수의 범주는 2차원 위상 양자장론의 범주와 동치이다. 프로베니우스 대수와 위상 양자장론은 다음과 같이 대응된다.

기호	가환 프로베니우스 대수	2차원 위상 양자장론
${\displaystyle V}$	프로베니우스 대수	원 ${\displaystyle S^{1}}$의 힐베르트 공간 ${\displaystyle E(S^{1})}$
${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$	프로베니우스 형식	힐베르트 공간의 내적
${\displaystyle \cdot \colon V\times V\to V}$	곱셈	바지 곡면(en:pair of pants (mathematics))의 분배 함수
${\displaystyle 1\in V}$	곱셈의 단위원	원판의 분배 함수 ${\displaystyle Z(D^{2})\in E(\partial D^{2})=E(S^{1})}$

예

체 ${\displaystyle K}$ 위의 행렬환 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}$ 위의 임의의 부분환 ${\displaystyle R\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)}$이 주어졌을 때, 프로베니우스 형식

${\displaystyle \langle a,b\rangle =\operatorname {tr} (ab)}$

을 주면, 이는 ${\displaystyle K}$ 위의 프로베니우스 대수를 이룬다. ${\displaystyle n>1}$이면 이는 가환 대수가 아니다.

모든 유한 차원 호프 대수는 프로베니우스 대수이다.

군환

임의의 유한군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 군환 ${\displaystyle K[G]}$ 위에 프로베니우스 형식

${\displaystyle \langle a,b\rangle =\operatorname {proj} _{K1_{G}}(ab)}$

을 부여하면, 프로베니우스 대수를 이룬다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {proj} _{K1_{G}}\colon K[G]\to K}$는 군의 항등원으로 생성되는 1차원 부분 공간으로의 사영이다. 즉,

${\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{h\in G}b_{h}h\right\rangle =\sum _{g\in G}a_{g}b_{g^{-1}}}$

이다. 이 경우, 대각합은

${\displaystyle \operatorname {tr} \colon \sum _{g\in G}a_{g}g\mapsto a_{1}}$

이다.

표현환

유한군 ${\displaystyle G}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle G}$의 유리수 계수 유니터리 표현환

${\displaystyle A=\operatorname {RU} (G)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$

위에 프로베니우스 형식

${\displaystyle \langle \rho ,\rho '\rangle =\operatorname {proj} _{1}\rho \otimes \rho '}$

를 부여하자. 여기서

${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}\colon A\to \mathbb {Q} }$

은 자명한 표현으로의 사영 사상이다. 이 경우

${\displaystyle \langle \rho _{1}\otimes \rho _{2},\rho _{3}\rangle =\langle \rho _{1},\rho _{2}\otimes \rho _{3}\rangle }$

은 ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}\otimes \rho _{3}}$의 기약 표현 분해에 포함된 자명한 표현의 차원이 된다.

역사 및 어원

리하르트 브라우어와 세실 네스빗(영어: Cecil J. Nesbitt)이 1937년 도입하였고,^[3] 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 땄다.

같이 보기

• 호프 대수