가역층

수학에서 가역층(可逆層, 영어: invertible sheaf)은 텐서곱에 대한 역원이 존재하는 연접층이다.

정의

환 달린 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위의 연접층 ${\displaystyle S}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 경우 ${\displaystyle S}$를 가역층이라고 한다.

• ${\displaystyle S}$는 텐서곱에 대한 역원을 갖는다. 즉, 어떤 연접층 ${\displaystyle T}$에 대하여, ${\displaystyle S\otimes S^{-1}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$이다.
• ${\displaystyle S}$는 1차원 국소 자유 가군층이다.

스킴을 통한 정의

스킴 위의 층의 경우, 가역층은 보다 구체적으로 대수적 선다발(영어: algebraic line bundle)의 단면으로 주어진다.

${\displaystyle X}$가 스킴이라고 하자. ${\displaystyle X}$ 위의 대수적 선다발은 1차원 대수적 선다발이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 스킴 ${\displaystyle E}$
• 전사 함수인 스킴 사상 ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$
• ${\displaystyle X}$의 어떤 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$
• 각 ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$에 대하여, 스킴 동형 사상 ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to \mathbb {A} _{U}^{1}=(\operatorname {Spec} \mathbb {Z} [x])\times U}$

이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.

• 임의의 ${\displaystyle U,V\in {\mathcal {U}}}$ 및 아핀 열린 부분 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U\cap V}$에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 ${\displaystyle R[x]\to R[x]}$은 어떤 가역원 ${\displaystyle m\in \operatorname {Unit} (R)}$에 대하여 ${\displaystyle r\mapsto r\forall r\in R\subseteq R[x]}$, ${\displaystyle x\mapsto mx}$의 꼴로 주어지는 가환환 동형 사상이다.

같은 스킴 ${\displaystyle X}$ 위의 두 대수적 선다발 ${\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}})}$, ${\displaystyle (E',\pi ',{\mathcal {U}}')}$ 사이의 동형 사상은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle X}$-스킴의 동형 사상 ${\displaystyle \iota \colon E/X\to E'/X}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• ${\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}}\cap {\mathcal {U}}')}$은 대수적 선다발을 이룬다.

그렇다면, 대수적 선다발의 단면들은 가역층을 이룬다. 반대로, 임의의 스킴 위의 임의의 가역층은 어떤 대수적 선다발의 단면층과 동형이다.

성질

호몰로지와의 관계

환 달린 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 가역층에 대하여, 층 코호몰로지류 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 표준적이며 전단사이며, 또한 텐서곱을 보존한다. ${\displaystyle X}$ 위의 가역층들의 동형류의 아벨 군을 피카르 군 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$이라고 하는데, 이에 따라 표준적으로 아벨 군의 동형

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\cong \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

이 존재한다.

인자와의 관계

임의의 국소 뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$ 위의 카르티에 인자 ${\displaystyle D}$가 주어졌다면, 이에 대응되는 가역층을 정의할 수 있다. 구체적으로, 카르티에 인자 ${\displaystyle D\in \Gamma ({\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$가 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$에서 ${\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {K}}_{X}^{\times },U_{i})}$로 표현된다고 하자. (여기서 ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}$는 유리 함수층이다.) 그렇다면, ${\displaystyle D}$에 대응되는 가역층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\subseteq {\mathcal {K}}_{X}}$은 ${\displaystyle (f_{i}^{-1})_{i\in I}}$로 생성되는 부분 가군층이다. 이 경우, 임의의 카르티에 주인자 ${\displaystyle D}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\cong {\mathcal {O}}_{X}}$이므로, 이는 카르티에 인자류군에서 피카르 군으로 가는 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {CaCl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)}$

을 정의한다.

뇌터 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 사영 스킴 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. (${\displaystyle X}$는 축소 스킴일 필요는 없다.) 그렇다면, ${\displaystyle X}$ 위의 모든 가역층은 카르티에 인자로 정의되는 가역층과 동형이다. 즉, 이 경우 피카르 군은 카르티에 인자류군과 동형이다. 반면, 임의의 뇌터 스킴의 경우, 카르티에 인자로 표현될 수 없는 가역층이 존재할 수 있다.^[1]

같이 보기

• 선다발
• 피카르 군