피타고라스 삼조

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수학에서, 피타고라스 삼조(Πυθαγόρας三組, 영어: Pythagorean triple)는 등식 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$을 만족시키는 세 양의 정수의 삼조 ${\displaystyle (a,b,c)}$이다. 피타고라스 정리와 그 역에 따라, 피타고라스 삼조는 직각 삼각형의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 삼조와 같다. “가장 작은” 피타고라스 삼조는 ${\displaystyle (3,4,5)}$이다.

피타고라스 삼조 (3,4,5)

원시 피타고라스 삼조(原始Πυθαγόρας三組, 영어: primitive Pythagorean triple)는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수의 최대 공약수가 1인 경우이다. 임의의 양의 정수의 삼조 ${\displaystyle (a,b,c)}$에 어떤 양의 정수 ${\displaystyle n}$을 곱하여 ${\displaystyle (na,nb,nc)}$를 만들었을 때, 이 삼조가 피타고라스 삼조인지 여부는 변하지 않는다. 따라서 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다.

원시 피타고라스 삼조는 단위원 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다. 대수 곡선의 유리점은 산술 기하학의 연구 주제이다.

정의

양의 정수의 삼조 ${\displaystyle (a,b,c)}$가 2차 디오판토스 방정식

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

의 해라면 (즉, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$이라면), ${\displaystyle (a,b,c)}$를 피타고라스 삼조라고 한다. ${\displaystyle \gcd\{a,b,c\}=1}$인 피타고라스 삼조를 원시 피타고라스 삼조라고 한다.

일반해

표준적인 해

만약 ${\displaystyle (a,b,c)}$가 피타고라스 삼조이며, ${\displaystyle n}$이 양의 정수라면, ${\displaystyle (na,nb,nc)}$ 역시 피타고라스 삼조이다. 반대로, 만약 ${\displaystyle (a,b,c)}$가 피타고라스 삼조이며, 양의 정수 ${\displaystyle d}$가 ${\displaystyle a,b}$의 공약수라면, ${\displaystyle d}$는 ${\displaystyle c}$의 약수이며, ${\displaystyle (a/d,b/d,c/d)}$는 피타고라스 삼조이다. 이에 따라, 모든 피타고라스 삼조는 어떤 원시 피타고라스 삼조 ${\displaystyle (a,b,c)}$의 어떤 양의 정수 ${\displaystyle n}$배

${\displaystyle (na,nb,nc)}$

로 유일하게 나타낼 수 있다.

원시 피타고라스 삼조의 첫 번째 및 두 번째 성분은 하나는 홀수, 하나는 짝수이다 (#성질). 따라서, 모든 원시 피타고라스 삼조는 첫 번째 및 두 번째 성분의 교환을 통해 두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조로 만들 수 있다.

두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조들은, ${\displaystyle m>n}$이며, 하나는 짝수, 하나는 홀수인 두 양의 서로소 정수의 순서쌍 ${\displaystyle (m,n)}$들과 일대일 대응한다. 구체적으로, 위 조건을 만족시키는 ${\displaystyle (m,n)}$에 대응하는, 첫 번째 성분은 홀수, 두 번째 성분은 짝수인 원시 피타고라스 삼조는 다음과 같다.^{[1]:313, 정리 11.6.1}

${\displaystyle (m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})}$

예를 들어, ${\displaystyle (2,1)}$에 대응하는 원시 피타고라스 삼조는 ${\displaystyle (3,4,5)}$이다. 특히, 원시 피타고라스 삼조들은 무수히 많이 존재한다.

따라서, 피타고라스 삼조들은 위 조건을 만족시키는 ${\displaystyle (m,n)}$과 임의의 양의 정수 ${\displaystyle k}$로 이루어진 삼조 ${\displaystyle (m,n,k)}$와 일대일 대응하며, 이 대응에서 ${\displaystyle (m,n,k)}$에 대응하는 피타고라스 삼조는 다음과 같다.

${\displaystyle (k(m^{2}-n^{2}),2kmn,k(m^{2}+n^{2}))}$

피타고라스 삼조의 이러한 풀이를 유클리드 공식(영어: Euclid’s formula)이라고 부르기도 한다.

표준적인 해의 증명

이 증명은 원시 피타고라스 삼조의 일부 초등적 성질들을 사용한다 (#성질). ${\displaystyle m,n}$이 두 양의 서로소 정수이고, ${\displaystyle m>n}$이며, 하나는 홀수, 하나는 짝수라고 하자. 자명하게

${\displaystyle (m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}}$

이므로, ${\displaystyle (m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})}$은 피타고라스 삼조이다.

${\displaystyle \gcd\{m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}\}\mid \gcd\{2m^{2},2n^{2}\}=2\gcd\{m^{2},n^{2}\}=1}$

이므로, ${\displaystyle (m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})}$은 원시 피타고라스 삼조이다. 마지막으로, ${\displaystyle 2mn}$은 자명하게 짝수이다.

반대로, 양의 정수의 삼조 ${\displaystyle (a,b,c)}$가 원시 피타고라스 삼조이며, ${\displaystyle b}$가 짝수라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle a}$는 홀수이며, ${\displaystyle c}$ 역시 홀수이다. ${\displaystyle a<c}$이므로, ${\displaystyle (c-a)/2}$와 ${\displaystyle (c+a)/2}$는 양의 정수이다. 또한,

${\displaystyle \gcd \left\{{\frac {c-a}{2}},{\frac {c+a}{2}}\right\}\mid \gcd\{a,c\}=1}$

이므로, ${\displaystyle (c-a)/2}$와 ${\displaystyle (c+a)/2}$는 서로소이다. 그런데, 두 수의 곱

${\displaystyle \left({\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {c+a}{2}}\cdot {\frac {c-a}{2}}}$

은 제곱수이므로, 두 수 역시 제곱수이다.

${\displaystyle {\frac {c+a}{2}}=m^{2}}$

${\displaystyle {\frac {c-a}{2}}=n^{2}}$

라고 하자. 여기서 ${\displaystyle m,n}$은 양의 서로소 정수이며, ${\displaystyle m>n}$이다. 그렇다면 자명하게

${\displaystyle a=m^{2}+n^{2}}$

${\displaystyle b=2mn}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2}}$

이다. 마지막으로, ${\displaystyle a=m^{2}+n^{2}}$가 홀수이므로, ${\displaystyle m,n}$은 하나는 홀수, 하나는 짝수이다.

마지막으로, ${\displaystyle (m,n)}$에 대응하는 원시 피타고라스 삼조의 첫째 성분과 둘째 성분의 합은 ${\displaystyle 2m^{2}}$이며, 셋째 성분에서 둘째 성분을 뺀 차는 ${\displaystyle 2n^{2}}$이다. 따라서, 서로 다른 ${\displaystyle (m,n)}$은 서로 다른 원시 피타고라스 삼조에 대응하며, 이 대응은 일대일 대응이다.

삼진 트리 표현

이 절에서, 원시 피타고라스 삼조는 두 번째 성분이 짝수인 원시 피타고라스 삼조를 뜻한다.

임의의 원시 피타고라스 삼조 ${\displaystyle (a,b,c)}$에 대하여,

${\displaystyle (a-2b+2c,2a-b+2c,2a-2b+3c)}$

${\displaystyle (a+2b+2c,2a+b+2c,2a+2b+3c)}$

${\displaystyle (-a+2b+2c,-2a+b+2c,-2a+2b+3c)}$

역시 원시 피타고라스 삼조이다. 원시 피타고라스 삼조를 열벡터

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$

로 적을 때, 위 세 연산은 각각 다음과 같은 세 행렬

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}}}$

을 열벡터의 왼쪽에 곱하는 연산이다. 원시 피타고라스 삼조에 세 연산을 가한 결과를 원시 피타고라스 삼조의 세 자식(영어: child)이라고 부르기도 한다.

또한, 모든 원시 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조 ${\displaystyle (3,4,5)}$에 위 세 연산을 유한 번 가하여 얻을 수 있으며, 이 원시 피타고라스 삼조를 얻게 되는, 세 연산을 가하는 방법은 유일하다.

이에 따라, 원시 피타고라스 삼조를 어떤 삼진 트리 위에 배열할 수 있다.^[2] 이 삼진 트리는 원시 피타고라스 삼조들만으로 구성되고, 모든 원시 피타고라스 삼조는 이 삼진 트리 위에 있으며, 겹치지 않는다. 원시 피타고라스 삼조의 삼진 트리를 원시 피타고라스 삼조의 계보(영어: genealogy, family tree)라고 부르기도 한다. 원시 피타고라스의 삼진 트리의 처음 네 열은 다음과 같다.

만약 ${\displaystyle (m,n)}$가 두 양의 서로소 정수의 순서쌍이며, ${\displaystyle m>n}$이며, 하나는 홀수, 하나는 짝수라면,

${\displaystyle (2m-n,m)}$

${\displaystyle (2m+n,m)}$

${\displaystyle (m+2n,n)}$

역시 이러한 조건을 만족시킨다.

이는 원시 피타고라스 삼조의 삼진 트리에 대응하는, 순서쌍들의 삼진 트리를 묘사한다. 즉, ${\displaystyle (m,n)}$에 대응하는 원시 피타고라스 삼조에 세 연산을 가하면 각각

${\displaystyle (2m-n,m)}$

${\displaystyle (2m+n,m)}$

${\displaystyle (m+2n,n)}$

에 대응하는 원시 피타고라스 삼조를 얻는다.

표

원시 피타고라스 삼조 가운데 ${\displaystyle c\leq 100}$인 것은 모두 16쌍이 있으며, 이는 다음과 같다.

(3, 4, 5)	(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)
(5, 12, 13)	(13, 84, 85)	(20, 21, 29)	(39, 80, 89)
(7, 24, 25)	(8, 15, 17)	(28, 45, 53)	(48, 55, 73)
(9, 40, 41)	(12, 35, 37)	(36, 77, 85)	(65, 72, 97)

성질

모든 피타고라스 삼조 ${\displaystyle (a,b,c)}$는 다음 성질들을 만족시킨다.

• ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$ 가운데 적어도 하나는 짝수이다.
  • 증명: 만약 ${\displaystyle a}$과 ${\displaystyle b}$가 둘 다 홀수라면, ${\displaystyle a^{2}}$과 ${\displaystyle b^{2}}$을 4로 나눈 나머지는 1이므로, ${\displaystyle c^{2}}$을 4로 나눈 나머지는 2이다. 그러나 ${\displaystyle c^{2}}$는 짝수이므로, ${\displaystyle c}$도 짝수이며, ${\displaystyle c^{2}}$는 4의 배수이다. 이는 모순이다.
• ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$ 가운데 적어도 하나는 3의 배수이다.
  • 증명: 만약 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$ 모두 3의 배수가 아니라면, ${\displaystyle a^{2}}$와 ${\displaystyle b^{2}}$를 3으로 나눈 나머지는 1이므로, ${\displaystyle c^{2}}$를 3으로 나눈 나머지는 2이다. 제곱수를 3으로 나눈 나머지는 0이거나 1이므로, 이는 모순이다.
• ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$와 ${\displaystyle c}$ 가운데 적어도 하나는 5의 배수이다.
  • 증명: 만약 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$가 모두 5의 배수가 아니라면, ${\displaystyle a^{2}}$와 ${\displaystyle b^{2}}$을 5로 나눈 나머지는 1 또는 4이므로, ${\displaystyle c^{2}}$을 5로 나눈 나머지는 0 또는 2 또는 3이다. 제곱수를 5로 나눈 나머지는 0 또는 1 또는 4이므로, 나머지는 0이다. 즉, ${\displaystyle c}$는 5의 배수이다.

만약 ${\displaystyle (a,b,c)}$가 원시 피타고라스 삼조라면, 다음 성질들을 추가로 만족시킨다.

• ${\displaystyle \gcd\{a,b\}=\gcd\{b,c\}=\gcd\{c,a\}=1}$
  • 증명: 만약 ${\displaystyle \gcd\{a,b\}\neq 1}$이라면, ${\displaystyle p\mid a}$, ${\displaystyle p\mid b}$인 소수 ${\displaystyle p}$가 존재한다. ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$이므로 ${\displaystyle p\mid c^{2}}$이다. 그런데 ${\displaystyle p}$가 소수이므로 ${\displaystyle p\mid c}$이다. 따라서 ${\displaystyle p\mid \gcd\{a,b,c\}}$이며, 이는 ${\displaystyle (a,b,c)}$가 원시 피타고라스 삼조인 것과 모순이다. 따라서, ${\displaystyle \gcd\{a,b\}=1}$이다. 마찬가지로 ${\displaystyle \gcd\{b,c\}=\gcd\{c,a\}=1}$임을 보일 수 있다.
• ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$는 하나는 짝수 하나는 홀수이다.
  • 증명: ${\displaystyle (a,b,c)}$가 피타고라스 삼조이므로, ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$ 가운데 적어도 하나는 짝수이다. 만약 둘 다 짝수라면, ${\displaystyle \gcd\{a,b\}\neq 1}$이므로, 모순이다.

같이 보기

• 오일러 벽돌
• 모듈러 산술
• 플림톤 322
• 이차 초곡면