핀슬러 다양체

미분기하학에서 핀슬러 다양체(영어: Finsler manifold)는 리만 다양체의 일반화이다. 각 접공간 위에 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이 주어진 리만 다양체와 달리, 대신 (일반화) 노름이 주어진다.

정의

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 접다발 ${\displaystyle TM}$ 위의 핀슬러 함수(영어: Finsler function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

${\displaystyle F\colon TM\to [0,\infty )}$

이다.

• ${\displaystyle F}$는 ${\displaystyle TM\setminus M}$ 위에서 매끄러운 함수이다.
• ${\displaystyle (x,v)\in TM}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle v=0}$이라면 ${\displaystyle F(x,v)=0}$이며, ${\displaystyle v\neq 0}$이라면 ${\displaystyle F(x,v)>0}$이다.
• (동차성) 임의의 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$ 및 ${\displaystyle x\in M}$ 및 ${\displaystyle v\in T_{x}M}$에 대하여, ${\displaystyle \lambda F(x,v)=F(x,\lambda v)}$
• (준가법성) 임의의 ${\displaystyle x\in M}$ 및 ${\displaystyle u,v\in T_{x}M}$에 대하여, ${\displaystyle F(x,u+v)\leq F(x,u)+F(x,v)}$

핀슬러 함수를 갖춘 매끄러운 다양체 ${\displaystyle (M,F)}$를 핀슬러 다양체라고 한다.

만약 핀슬러 다양체 ${\displaystyle (M,F)}$에 대하여, 임의의 ${\displaystyle (x,v)\in TM}$에 대하여 ${\displaystyle F(x,v)=F(x,-v)}$라면 이를 가역 핀슬러 다양체(영어: reversible Finsler manifold)라고 한다. 가역 핀슬러 함수는 다양체의 각 접공간 위에 노름을 정의한다.

거리와 측지선

핀슬러 다양체 ${\displaystyle (M,F)}$ 위의 매끄러운 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}$의 길이(영어: length)는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {length} [\gamma ]=\int _{a}^{b}F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt}$

곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 미분 동형 ${\displaystyle s\colon [a,b]\to [a',b']}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {length} [\gamma \circ s]=\operatorname {length} [\gamma ]}$이다.

임의의 두 점 ${\displaystyle x,y\in M}$ 사이의 거리(영어: distance) ${\displaystyle \operatorname {dist} (x,y)}$는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다.

${\displaystyle \operatorname {dist} (x,y)=\inf _{\gamma \colon [0,1]\to M}^{\gamma (0)=x,\;\gamma (1)=y}L(\gamma )}$

그렇다면, ${\displaystyle (M,\operatorname {dist} )}$는 길이 거리 공간을 이룬다. 따라서, 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 다음과 같은 에너지 범함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle E[\gamma ]={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left(F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\right)^{2}\,dt}$

기본 텐서

핀슬러 다양체 ${\displaystyle (M,F)}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}F^{2}}$의 접공간 방향의 헤세 행렬은 ${\displaystyle TM\setminus M}$ 위에 다음과 같은 대칭 (0,2)-텐서 ${\displaystyle g}$를 이루며, 이를 기본 텐서(영어: fundamental tensor)라고 한다.

${\displaystyle (g|_{x,v})_{ij}={\frac {1}{2}}{\frac {}{\partial v^{i}\partial v^{j}}}F^{2}\qquad \forall (x,v)\in TM}$

이는 접공간 방향에서 무게 0으로 동차이므로, 이는 사실 사영 접다발

${\displaystyle PTM={\frac {TM\setminus M}{(x,v)\sim (x,\lambda v)\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}}}$

위에 정의된다. 반대로, 동차 함수에 대한 오일러 정리에 따라서

${\displaystyle F(x,v)^{2}=\sum _{ij}g_{ij}(x,v)v^{i}v^{j}}$

가 된다. 즉, 기본 텐서로부터 핀슬러 구조 전체를 재구성할 수 있다.

기본 형식이 ${\displaystyle TM}$ 위에서 양의 정부호라면, ${\displaystyle (M,F)}$를 강하게 볼록 핀슬러 다양체(영어: strongly convex Finsler manifold)라고 한다. 일부 문헌에서는 핀슬러 다양체의 정의에 강한 볼록성 조건을 추가하기도 한다.

힐베르트 형식

핀슬러 다양체 ${\displaystyle (M,F)}$의 사영 접다발 ${\displaystyle PTM}$ 위에 다음과 같은 힐베르트 형식(영어: Hilbert form)이라는 1차 미분 형식을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \omega =\sum _{i}{\frac {\partial F(x,v)}{\partial v^{i}}}dx^{i}}$

${\displaystyle \omega }$의 외미분 ${\displaystyle d\omega }$는 일종의 에레스만 접속을 정의한다.

예

모든 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$는 다음과 같은 핀슬러 함수로 자연스럽게 핀슬러 다양체를 이룬다.

${\displaystyle F(x,v)=g|_{x}(v,v)\qquad \forall (x,v)\in TM}$

반대로, 리만 계량을 핀슬러 함수로부터 재구성할 수 있다. 따라서, 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 개념의 일반화이다.

란데르스 다양체

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위에 1차 미분 형식 ${\displaystyle b\in \Omega ^{1}M}$이 주어졌으며, 또한

${\displaystyle g^{-1}(b,b)|_{x}\leq 1\qquad \forall x\in M}$

이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함수는 핀슬러 함수를 이룬다.

${\displaystyle F\colon (x,v)\mapsto {\sqrt {g^{-1}(b,b)}}|_{x}+b(v)}$

이러한 꼴의 핀슬러 다양체를 란데르스 다양체(영어: Randers manifold)라고 한다. 이는 노르웨이의 군나르 란데르스(노르웨이어: Gunnar Randers)가 도입하였다.^[1]

복소다양체 위의 계량

복소다양체 위의 카라테오도리 계량과 고바야시 계량은 (만약 매끄럽다면) 핀슬러 계량을 이룬다.

역사

독일의 수학자 파울 핀슬러(독일어: Paul Finsler, 1894~1970)가 1918년 박사 학위 논문에서 연구하였다.^[2] 이후 1933년에 엘리 카르탕이 "핀슬러 공간"(프랑스어: espace de Finsler)이라는 용어를 도입하였다.^[3]