주접속

미분기하학에서 주접속(主接續, 영어: principal bundle connection)은 주다발 위에 정의되며, 그 군 작용과 호환되는 에레스만 접속이다.^[1] 이를 통해, 주다발 위에 평행 이동과 곡률을 정의할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• 리 군 ${\displaystyle G}$. 그 실수 리 대수를 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$라 하자.
• 매끄러운 주다발 ${\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}$

${\displaystyle P}$ 위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.

• 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$ 값의 1차 미분 형식 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))}$으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 에레스만 접속 ${\displaystyle H\subseteq \mathrm {T} P}$으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ 위의 특정한 올다발의 특정한 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다.
• 주접속은 주다발의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$ 값의 1차 미분 형식들의 족으로 정의할 수 있다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

미분 형식을 통한 정의

${\displaystyle P}$의 주접속 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))}$는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는, ${\displaystyle P}$ 위의 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$값을 가진 1차 미분 형식이다.

${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)(\cdot g)^{*}\omega =\omega \qquad \forall g\in G}$^{[1]:144, §Ⅳ.3, (ω.2)}

${\displaystyle \omega (X_{\xi })=\xi \qquad \forall \xi \in {\mathfrak {lie}}(G)}$^{[1]:144, §Ⅳ.3, (ω.1)}

여기서

• ${\displaystyle (\cdot g)\colon P\to P}$는 군의 오른쪽 작용을 나타내는 매끄러운 함수 ${\displaystyle h\mapsto h\cdot g}$이다.
• ${\displaystyle (\cdot g)^{*}\omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))}$는 1차 미분 형식 ${\displaystyle \omega }$의, ${\displaystyle (\cdot g)}$에 대한 당김이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)\colon {\mathfrak {lie}}(G)\to {\mathfrak {lie}}(G)}$는 ${\displaystyle g\in G}$의 딸림표현이다.
• ${\displaystyle X_{\xi }\in \Gamma (\mathrm {T} P)}$는 ${\displaystyle G}$의, ${\displaystyle P}$ 위의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

에레스만 접속을 통한 정의

${\displaystyle P}$의 에레스만 접속 ${\displaystyle H\subseteq \mathrm {T} P}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle H}$를 주접속이라고 한다.

${\displaystyle H_{p\cdot g}=(\mathrm {T} (\cdot g))(H_{p})\qquad \forall p\in P,\;g\in G}$

여기서

• ${\displaystyle (\cdot g)\colon \colon P\to P}$는 ${\displaystyle g}$의 ${\displaystyle P}$ 위의 오른쪽 작용이다.
• ${\displaystyle \mathrm {T} (\cdot g)\colon \mathrm {T} P\to \mathrm {T} P}$는 위 매끄러운 함수의 미분이다.

미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))=\Gamma (\mathrm {T} ^{*}P\otimes {\mathfrak {lie}}(G))}$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의 ${\displaystyle m\in M}$에 대하여, ${\displaystyle G}$의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을

${\displaystyle X\colon {\mathfrak {lie}}(G)\to \Gamma (\mathrm {T} P)}$

${\displaystyle X\colon x\mapsto X_{x}}$

로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로, ${\displaystyle X}$의 상은 ${\displaystyle P}$의 수직 벡터 다발 ${\displaystyle \mathrm {V} P=\ker(\mathrm {T} \pi )\subseteq \mathrm {T} P}$과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상

${\displaystyle P\times {\mathfrak {lie}}(G)\to \mathrm {V} P}$

를 정의한다. (좌변은 올이 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서, ${\displaystyle \omega }$를 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}P\otimes \mathrm {V} P}$의 단면으로 여길 수 있으며, ${\displaystyle \omega }$는 벡터 다발 사상

${\displaystyle \omega \colon \mathrm {T} P\to \mathrm {V} P\subseteq \mathrm {T} P}$

를 정의한다. 이는 멱등 함수이며 (${\displaystyle \omega \circ \omega =\omega }$), 따라서 그 핵으로 완전히 명시된다. 그 핵 ${\displaystyle \ker \omega \subseteq \mathrm {T} P}$은 에레스만 접속이다.

벡터 다발을 통한 정의

딸림표현의 연관 벡터 다발^{[2]:545–546, §3}

${\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)}$

을 생각하자. 또한, ${\displaystyle G}$는 접다발 ${\displaystyle \mathrm {T} P}$ 위에 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 따라 몫공간 ${\displaystyle \mathrm {T} P/G}$를 정의할 수 있다. 그 차원은 ${\displaystyle 2(\dim M)+(\dim G)}$이며, 또한

• 벡터장의 밂 ${\displaystyle \pi _{*}\colon \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M}$는 매끄러운 올다발을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 벡터 다발이 아니다.)
• ${\displaystyle \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow M}$은 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

올다발 ${\displaystyle \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M}$을 주접속 다발(영어: bundle of principal connections)이라고 한다.^{[1]:141, §Ⅳ.1} 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {T} P&\to &\mathrm {T} P/G&\to &\mathrm {T} M\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\P&\to &P/G&=&M\end{matrix}}}$

이는 다음과 같은 표준적인 ${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 벡터 다발들의 짧은 완전열을 이룬다.^{[2]:547, (3.2)}

${\displaystyle 0\to \operatorname {ad} (P)\,{\xrightarrow {\iota }}\,{\frac {\mathrm {T} P}{G}}\,{\xrightarrow {\pi _{*}}}\,\mathrm {T} M\to 0}$

${\displaystyle G}$는 이 열 위에 작용하며, ${\displaystyle \iota }$와 ${\displaystyle \pi _{*}}$는 ${\displaystyle G}$의 작용 아래 불변이다.

이 경우, ${\displaystyle P}$의 주접속은 위 짧은 완전열의 분할이다. 즉, 아벨 범주의 분할 보조정리에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 동치이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.

• ${\displaystyle \iota \colon \operatorname {ad} (P)\to \mathrm {T} P/G}$의 왼쪽 역사상인 ${\displaystyle M}$-매끄러운 벡터 다발 사상 ${\displaystyle A\colon \mathrm {T} P/G\to \operatorname {ad} (P)}$
• ${\displaystyle \pi _{*}\colon \mathrm {T} P/G\twoheadrightarrow \mathrm {T} M}$의 오른쪽 역사상인 ${\displaystyle M}$-매끄러운 벡터 다발 사상 ${\displaystyle A\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} P/G}$^{[1]:142, §Ⅳ.1}

짧은 완전열의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상 ${\displaystyle \mathrm {T} M\to \operatorname {ad} (P)}$를 정의하며, 이는 벡터 값 미분 형식

${\displaystyle \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}$

의 원소와 같다. 즉, 주접속의 모듈라이 공간은 이 실수 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.

국소 자명화를 통한 정의

${\displaystyle \pi }$를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의 ${\displaystyle M}$의 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$를 골랐다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle P}$의 주접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여, 리 대수 값 1차 미분 형식 ${\displaystyle A_{i}\in \Omega ^{1}(U_{i};{\mathfrak {lie}}(G))}$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 ${\displaystyle i,j\in I}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq 0}$이라면, 어떤 매끄러운 함수 ${\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to G}$에 대하여, 다음이 성립해야 한다.

  ${\displaystyle A_{j}=\operatorname {Ad} (g_{ij})^{-1}A_{i}+g_{ij}^{-1}\mathrm {d} g_{ij}}$

여기서

• ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$는 리 군에 대응되는 실수 리 대수이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {lie}}(G))}$는 리 군의, 스스로의 리 대수 위의 딸림표현이다.

같은 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ 위에 정의된 두 주접속 ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$, ${\displaystyle (A'_{i})_{i\in I}}$에 대하여, 만약 어떤 매끄러운 함수들의 족

${\displaystyle (g_{i}\colon U_{i}\to G)_{i\in I}}$

에 대하여

${\displaystyle A'_{i}=\operatorname {Ad} (g_{i})^{-1}A_{i}+g_{i}^{-1}\mathrm {d} g_{i}}$

라면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle A'}$을 같은 주접속으로 간주한다.

이러한 정의는 이론물리학에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 게이지 변환이라고 한다.

이 정의는 다른 정의들과 동치이다. 구체적으로, 주접속을 ${\displaystyle P}$ 위에 정의된 1차 미분 형식 ${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))}$으로 정의하였다고 하자. 이 경우, 열린 덮개 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$에 대한 국소 자명화는 각 ${\displaystyle i\in I}$에 대한 매끄러운 단면 ${\displaystyle s_{i}\in \Gamma (U,P)}$으로 주어진다. 이 경우,

${\displaystyle A_{i}=s_{i}^{*}A\in \Omega ^{1}(U_{i};{\mathfrak {lie}}(G))}$

로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를

${\displaystyle s'_{i}=s_{i}g_{i}}$

와 같이 바꾸면

${\displaystyle A'_{i}=(s'_{i})^{*}A=\operatorname {Ad} (g_{i})^{-1}A_{i}+g_{i}^{-1}\mathrm {d} g_{i}}$

가 되어, 같은 주접속을 얻는다.

성질

곡률

주접속 ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {lie}}(G))}$의 곡률(曲率, 영어: curvature) ${\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {lie}}(G))}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]}$

여기서 ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$는 리 괄호와 외적을 결합한 연산으로, ${\displaystyle [\alpha \otimes x\wedge \beta \otimes y]=(\alpha \wedge \beta )\otimes [x,y]}$와 같이 정의한다.

곡률은 벡터 값 미분 형식

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M;\operatorname {ad} (P))}$

를 정의하며,^{[2]:548, §3} 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다.

곡률이 0인 주접속을 평탄 주접속이라고 한다.

분류

게이지 변환

 이 부분의 본문은 게이지 변환군입니다.

다음과 같은 연관 다발 ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$를 생각하자.^{[2]:539, §2}

${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G}$

이는 ${\displaystyle G}$의, 스스로 위의 켤레 작용

${\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})}$

에 대한, ${\displaystyle P}$의 연관 다발이다.

${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$의 매끄러운 단면들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 매끄러운 함수의 공간으로 여겨질 수 있다.^{[2]:539, §2}

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {Ad} (P))\cong \{\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)\colon \phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\}\cong \operatorname {Aut} (P)}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {Ad} (P))}$는 점별 곱셈을 통해 위상군을 이루며, 그 원소를 게이지 변환이라고 한다.

주접속의 모듈러스 공간

또한, 다음과 같은, 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발을 생각하자.^{[2]:545–546, §3}

${\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)}$

그 매끄러운 단면의 벡터 공간은 게이지 변환군 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$에 대응하는 리 대수이다.

${\displaystyle \operatorname {Lie} ({\mathcal {G}})=\Gamma ^{\infty }(M,\operatorname {ad} (P))}$

그렇다면, ${\displaystyle G}$-주다발 ${\displaystyle P\twoheadrightarrow M}$ 위의 주접속의 모듈라이 공간 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$는 다음과 같은 벡터 공간에 대한 아핀 공간이다.^{[2]:547, §3}

${\displaystyle \mathrm {T} _{A}{\mathcal {A}}\cong \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P))}$

게이지 변환군 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\cong \operatorname {Aut} (P)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

${\displaystyle \phi \cdot A=\phi ^{*}A\qquad (A\in \Omega ^{1}(M;\operatorname {ad} (P)),\;\phi \in \operatorname {Aut} (P)\cong {\mathcal {G}})}$

예

자명한 주다발

만약 ${\displaystyle P=M\times G}$가 자명한 주다발일 경우, ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)=M\times {\mathfrak {lie}}(G)}$는 자명한 벡터 다발이며, 또한 표준적인 자명한 주접속 ${\displaystyle A=0}$이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 리 대수 값 미분 형식의 실수 벡터 공간 ${\displaystyle \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {lie}}(G))}$를 이루며, 주접속을 단순히 리 대수 값 미분 형식으로 간주할 수 있다.

한원소 공간 위의 주접속

만약 ${\displaystyle M=\{\bullet \}}$이 한원소 공간이라고 하자. 이 경우,

• 주다발 ${\displaystyle P\twoheadrightarrow \{\bullet \}}$은 ${\displaystyle G}$-토서(영어: torsor, 군에서 원점을 망각한 구조)이다.
• 표준적으로 ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)={\mathfrak {lie}}(G)}$이다.
• ${\displaystyle \mathrm {T} P/G=\operatorname {Vect} (P)^{G}}$는 ${\displaystyle P}$ 위의, ${\displaystyle G}$-오른쪽 군 작용에 대하여 불변인 벡터장들의 실수 벡터 공간이며, 이 역시 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 전단사 함수를 이룬다.)

따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다. ${\displaystyle P}$ 위의 1차 미분 형식으로서, 이는 마우러-카르탕 형식이다.