헬름홀츠 방정식

수학에서 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)은 2차 편미분 방정식의 하나다. 물리학에서 자주 등장한다. 독일의 물리학자 및 생리학자 헤르만 폰 헬름홀츠의 이름을 땄다.

평면에서 두 개의 방사하는 소스, 주어진 함수 ${\displaystyle f}$는 블루 지역에서 제로를 의미한다.

다음 ${\displaystyle A,}$의 실수영역이며, ${\displaystyle A}$는 비동차(inhomogeneous) 헬름홀츠 방정식의 해이다 ${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=-f.}$

정의

${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간 위에 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$을 생각해 보자. 그렇다면 ${\displaystyle f}$에 대한 헬름홀츠 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})f(\mathbf {x} )=0.}$

여기서 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$는 라플라스 연산자이고, ${\displaystyle k}$는 상수다.

2차원 헬름홀츠 방정식

극좌표계에서, 2차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

${\displaystyle f(r,\theta )=\sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}\cos n\theta +b_{n}\sin n\theta \right)\left(c_{n}J_{n}(kr)+d_{n}Y_{n}(kr)\right)}$.

여기서 ${\displaystyle J_{n}(kr)}$과 ${\displaystyle Y_{n}(kr)}$은 베셀 함수다. 만약 ${\displaystyle f}$가 원점 ${\displaystyle r=0}$에서 연속적이려면 (${\displaystyle Y_{n}(kr)}$은 원점에서 발산하므로) ${\displaystyle d_{n}=0}$이어야 한다.

3차원 헬름홀츠 방정식

구면좌표계에서, 3차원 헬름홀츠 방정식은 변수분리법을 사용하여 다음과 같이 풀 수 있다.

${\displaystyle f(r,\theta ,\phi )=\sum _{m,l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\left(c_{n}j_{n}(kr)+d_{n}y_{n}(kr)\right)}$.

여기서 ${\displaystyle j_{n}(kr)}$과 ${\displaystyle y_{n}(kr)}$은 구면 베셀 함수이고, ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$는 구면 조화 함수다.

응용

${\displaystyle k^{2}=-m^{2}}$이 음수일 때, 헬름홀츠 방정식은 (유클리드 계량 부호수)에서의) 클라인-고든 방정식이 된다. 따라서, 헬름홀츠 방정식의 그린 함수

${\displaystyle (\nabla ^{2}-m^{2})f(\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )}$

는 점입자의 퍼텐셜이 된다. 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에서 그린 함수는 다음과 같다. 여기서 ${\displaystyle r=\Vert \mathbf {x} \Vert }$이다.

차원	그린 함수	${\displaystyle m=0}$인 그린 함수
2	${\displaystyle -K_{0}(mx)/2\pi }$	${\displaystyle (\ln r)/2\pi }$
3	${\displaystyle -\exp(-mr)/(4\pi r)}$	${\displaystyle -1/(4\pi r)}$
n>2	${\displaystyle -(n-2)(2\pi )^{-1}(m/2\pi r)^{n/2-1}K_{n/2-1}(mr)}$	${\displaystyle -1/(V_{n}r^{n-2})}$

여기서

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}}$ (${\displaystyle n>2}$)

는 반지름이 1인 ${\displaystyle n-1}$차원 초구의 (초)면적이고, ${\displaystyle \Gamma }$는 감마 함수다. ${\displaystyle K_{\alpha }(x)}$는 베셀 함수의 하나다. ${\displaystyle m=0}$인 경우 헬름홀츠 방정식은 푸아송 방정식이 되고, 이 경우 퍼텐셜은 익숙한 역거듭제곱 법칙을 따른다. 유한한 ${\displaystyle m}$의 경우, 이 퍼텐셜은 잘 알려진 유카와 퍼텐셜이다.

같이 보기

• 라플라스 방정식
• 베셀 함수
• 부분파 방법

참고 문헌

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Helmholtz Differential Equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Polyanin, Andrei D. (2004). “EqWorld: Helmholtz Equation” (PDF).