호모토피 범주

호모토피 이론에서 호모토피 범주(homotopy範疇, 영어: homotopy category)는 주어진 모형 범주에서, 모든 약한 동치를 동형 사상으로 만들어 얻는 범주이다.

정의

모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}$가 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 호모토피 범주(영어: homotopy category) ${\displaystyle \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}$는 다음과 같은 범주이다.

• ${\displaystyle \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}$의 대상들은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것들이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}$의 사상들은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사상들의 호모토피류이다. (정의역과 공역이 모두 올대상이자 쌍대올대상일 경우), 오른쪽 호모토픽 및 왼쪽 호모토픽 조건이 서로 동치이다.

성질

모형 범주 ${\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}$에서, 그 호모토피 범주로 가는, 다음 조건을 만족시키는 함자

${\displaystyle H\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}$

가 항상 존재한다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 약한 동치 ${\displaystyle w\in {\mathfrak {W}}}$의 상 ${\displaystyle Fw}$는 ${\displaystyle \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}$의 동형 사상이다.
• 올대상이자 쌍대올대상인 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$의 상 ${\displaystyle H(X)}$는 ${\displaystyle X}$ 자신이다.
• 올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$ 및 사상 ${\displaystyle f\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}$에 대하여, ${\displaystyle Hf\in \hom _{\operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}(X,Y)}$는 ${\displaystyle f}$의 호모토피류이다.

이러한 함자는 일반적으로 유일하지 않으나, 이러한 두 함자 사이에는 항상 유일한 자연 동형이 존재한다.

퀼런 수반

두 모형 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 퀼런 수반 함자

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle F\dashv G}$

가 주어졌을 때, 각각 왼쪽 유도 함자

${\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {Ho} ({\mathcal {D}})}$

및 오른쪽 유도 함자

${\displaystyle \operatorname {R} G\colon \operatorname {Ho} ({\mathcal {D}})\to \operatorname {Ho} ({\mathcal {C}})}$

를 정의할 수 있으며, 이 역시 서로 수반 함자

${\displaystyle \operatorname {L} F\dashv \operatorname {R} G}$

를 이룬다.

예

위상 공간의 (퀼런) 모형 범주의 호모토피 범주는 CW 복합체와 그 사이의 연속 함수의 호모토피류들의 범주와 동치이다.

외부 링크

• “Homotopy category of a model category”. 《nLab》 (영어).
• “Homotopy category”. 《nLab》 (영어).