횔더 연속 함수

해석학에서 횔더 연속 함수(Hölder連續函數, 영어: Hölder-continuous function)는 두 점 사이의 거리를 일정 거듭제곱 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 립시츠 연속 함수의 개념의 일반화이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 로비어 공간 ${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$
• 음이 아닌 실수 ${\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}$

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수라고 한다.^{[1]:254, §5.1}

• 모든 ${\displaystyle x,x'\in X}$에 대하여, ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq Cd_{X}(x,x')^{\alpha }}$인 ${\displaystyle C>0}$가 존재한다.

만약 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$가 국소 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수(영어: locally ${\displaystyle \alpha }$-Hölder-continuous function)라고 한다.

• 임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle x,x'\in K}$에 대하여, ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))\leq C_{K}d_{X}(x,x')^{\alpha }}$인 ${\displaystyle C_{K}>0}$가 존재한다.

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{\geq 0}}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha }$-횔더 반노름(영어: ${\displaystyle \alpha }$-Hölder seminorm)을 다음과 같이 정의하자.^{[1]:254, §5.1}

${\displaystyle \|f\|_{\mathrm {H{\ddot {o}}} ,\alpha }=\sup _{x,x'\in X\;d(x,x')>0}{\frac {d_{Y}(f(x),f(x')}{(d_{X}(x,x'))^{\alpha }}}\in [0,\infty ]}$

즉, 어떤 함수가 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수인 것은 유한한 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 반노름을 갖는 것과 동치이다.

${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수들의 공간을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)}$로 표기하자. 이 위에는 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 반노름을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다.

성질

0-횔더 연속 함수는 유계 함수이며, 1-횔더 연속 함수는 ${\displaystyle C}$-립시츠 연속 함수이다. 임의의 ${\displaystyle \alpha >0}$에 대하여, ${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수는 연속 함수이다. (그러나 물론 유계 함수는 연속 함수가 아닐 수 있다.)

포함 관계

만약 ${\displaystyle X}$가 콤팩트 공간이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle X}$의 지름이 유한하며, 임의의 ${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta <\infty }$에 대하여, 자연스러운 포함 사상

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\beta }(X,Y)\subseteq {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)}$

이 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \|f\|_{0,\alpha }\leq \operatorname {diam} (X)^{\beta -\alpha }\|f\|_{0,\beta }}$

따라서, 위 포함 관계는 연속 함수이자 사실 작용소 노름이 ${\displaystyle \operatorname {diam} (X)^{\beta -\alpha }}$ 이하인 유계 작용소이다. 또한, 아르첼라-아스콜리 정리에 의하여, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\beta }(X,Y)}$에서의 유계 집합은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,\alpha }(X,Y)}$에서의 상대 콤팩트 집합이다.

예

함수

${\displaystyle [0,1/2]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}0&x=0\\1/\ln x&x>0\end{cases}}}$

를 생각하자. 이는 연속 함수이며 (정의역이 콤팩트 공간이므로) 균등 연속 함수이지만, 0 근처에서 매우 가파르게 감소하므로 임의의 ${\displaystyle \alpha <\infty }$에 대하여 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수가 되지 못한다.

임의의 ${\displaystyle 0<\beta <\infty }$에 대하여, 함수

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle x\mapsto x^{\beta }}$

는 ${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta }$에 대하여 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수이지만, ${\displaystyle \alpha >\beta }$일 경우 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수가 아니다.

페아노 곡선

전사 ${\displaystyle 1/2}$-횔더 연속 함수

${\displaystyle [0,1]\to [0,1]^{2}}$

가 존재한다. 즉, 이는 페아노 곡선의 일종이다. 그러나 ${\displaystyle \alpha >1/2}$의 경우, 전사 ${\displaystyle \alpha }$-횔더 연속 함수 ${\displaystyle [0,1]\to [0,1]^{2}}$는 존재할 수 없다.

역사

오토 횔더가 1882년 박사 학위 논문^[2]에서 도입하였다.