히르체브루흐-리만-로흐 정리

수학에서 히르체브루흐-리만-로흐 정리(영어: Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)는 리만-로흐 정리를 임의의 차원의 복소다양체 위의 일반적인 해석적 벡터다발로 일반화한 정리다.

정의

콤팩트 복소다양체 ${\displaystyle X}$ 위에 해석적 벡터다발 ${\displaystyle E\to X}$가 있다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle E}$의 코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표 ${\displaystyle \chi (E)}$를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \chi (E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (X)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {ch} (E)}$는 ${\displaystyle E}$의 천 지표, ${\displaystyle \operatorname {Td} (X)}$는 ${\displaystyle X}$의 접다발의 토드 특성류다.

예

${\displaystyle X}$가 리만 곡면이라고 하고, ${\displaystyle E\to X}$ 가 인자류 ${\displaystyle [D]}$에 대응하는 해석적 선다발이라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \chi (E)=h^{0}(E)-h^{1}(E)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=1+c_{1}(E)}$

${\displaystyle \operatorname {Td} (X)=1+c_{1}(X)/2}$

이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는

${\displaystyle h^{0}(E)-h^{1}(E)=\int _{X}(c_{1}(E)+c_{1}(X)/2)}$

이다. 복소1차원에서, 오일러 특성류는 ${\displaystyle c_{1}}$이므로, ${\displaystyle c_{1}(X)}$는 ${\displaystyle X}$의 오일러 지표

${\displaystyle \int _{X}c_{1}(X)=\chi (X)=2-2g}$

이다. 여기서 ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle X}$의 종수(genus)다. 또한,

${\displaystyle \int _{X}c_{1}(E)=\deg D}$

이다. 또한,

${\displaystyle h^{0}(E)=I(D)}$

이고, 세르 쌍대성에 의하여

${\displaystyle h^{1}(E)=h^{0}({\mathcal {O}}(K)\otimes E^{-1})=I(K-D)}$

(${\displaystyle K}$는 표준 선다발의 인자)이므로, 리만-로흐 정리

${\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D+1-g}$

를 얻는다.

오일러 지표

복소수 ${\displaystyle n}$차원 콤팩트 켈러 다양체 ${\displaystyle M}$의 경우, 오일러 지표는 돌보 코호몰로지를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,

${\displaystyle \chi (M)=\sum _{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(M)=\sum _{n}(-1)^{p}\chi \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)}$

이다. 여기서 ${\displaystyle h^{p,q}(M)}$는 호지 수이며, ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }^{*}M}$은 ${\displaystyle M}$의 복소수 공변접다발이다.

분할 원리(영어: splitting principle)에 따라, ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }M}$을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류가

${\displaystyle (x_{i})_{i=1,\dots ,n}}$

라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는 ${\displaystyle -x_{i}}$이다. 그렇다면,

${\displaystyle \bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M}$

의 천 지표는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\sum _{I\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}^{|I|=p}\prod _{i\in I}\exp(-x_{i})}$

즉,

${\displaystyle \sum _{p=0}^{n}(-1)^{p}\operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\prod _{i=1}^{n}(1-\exp(-x_{i}))}$

이다. 따라서, ${\displaystyle M}$의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}\operatorname {Td} (TM)\sum _{p=0}^{n}(-1)^{p}\operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}T_{\mathbb {C} }^{*}M\right)=\int _{M}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}(1-\exp(-x_{i}))=\int _{M}\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\int _{M}c_{n}(TM)}$

즉, ${\displaystyle M}$의 최고차 천 수이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.

역사

프리드리히 히르체브루흐가 1954년에 증명하였다.^[1]