토드 특성류

대수적 위상수학에서 토드 특성류(Todd特性類, 영어: Todd class)는 히르체브루흐-리만-로흐 정리 및 아티야-싱어 지표 정리에 등장하는 특성류이다.^[1]

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 파라콤팩트 공간 ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle X}$ 위의 복소수 벡터 다발 ${\displaystyle E}$
  • ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }E=n}$이라고 하자.

분할 원리(영어: splitting principle)에 의하여, ${\displaystyle E}$의 특성류는 ${\displaystyle E}$가 복소수 선다발들의 직합 ${\displaystyle L_{1}\oplus \dotsb \oplus L_{n}}$인 것처럼 볼 때, 이들의 천 특성류 ${\displaystyle x_{i}=\operatorname {c} _{1}(L_{i})}$에 대한 대칭 다항식으로 정의된다. (물론 이 ‘선다발’ ${\displaystyle L_{i}}$는 존재하지 않을 수 있다.)

토드 특성류 ${\displaystyle \operatorname {Td} (E)\in H^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}$는 ${\displaystyle E}$의 특성류의 하나로, 유리수 계수의 코호몰로지류이며, 구체적으로 다음과 같은 대칭 다항식으로 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {Td} (E)=\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}=\prod _{i=1}^{n}\left(1+{\frac {1}{2}}x_{i}+{\frac {1}{12}}x_{i}^{2}-{\frac {1}{720}}x_{i}^{4}+\dotsb \right)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Q} )}$

천 특성류 ${\displaystyle c_{i}}$는 이와 같이 다항식으로 정의하면 다음과 같다.

${\displaystyle c=c_{1}+c_{2}+c_{3}+\dotsb =\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})}$

이를 사용하여 쓰면, 토드 특성류는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Td} (E)=1+{\frac {1}{2}}\operatorname {c} _{1}(E)+{\frac {1}{12}}\left(\operatorname {c} _{1}(E)^{2}+\operatorname {c} _{2}(E)\right)+{\frac {1}{24}}\operatorname {c} _{1}(E)\operatorname {c} _{2}(E)+{\frac {1}{720}}\left(-\operatorname {c} _{1}(E)^{4}+4\operatorname {c} _{1}(E)^{2}\operatorname {c} _{2}(E)+\operatorname {c} _{1}(E)\operatorname {c} _{3}(E)+3\operatorname {c} _{2}(E)^{2}-\operatorname {c} _{4}(E)\right)+\dotsb }$

성질

벡터 다발의 직합의 토드 특성류는 각 성분의 토드 특성류의 합곱이다.

${\displaystyle \operatorname {Td} (E\oplus F)=\operatorname {Td} (E)\smile \operatorname {Td} (F)}$

역사

영국의 수학자인 존 아서 토드(영어: John Arthur Todd)가 1937년 도입하였다.^[2] 이는 최초로 발견된 특성류의 하나이며, 천싱선이 천 특성류를 1946년 도입하기 오래 전에 발견되었다.