힐베르트 문제

힐베르트의 문제(Hilbert's problems)는 수학 문제 23개로, 독일의 수학자인 다비트 힐베르트가 1900년 프랑스 파리에서 열린 세계 수학자 대회에서 20세기에 풀어야 할 가장 중요한 문제로 제안한 것이다. 세계 수학자 대회에서 힐베르트는 10문제(1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22)를 공개했고, 나중에 모든 문제가 출판되었다.

문제 목록

힐베르트의 23문제는 다음과 같다.

문제 번호	내용 요약	현재 상태	해결 연도
1	연속체 가설: 정수의 집합보다 크고 실수의 집합보다 작은 집합은 존재하지 않는다.	체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리를 가정하는지의 여부에 무관하게 증명할 수도 반증할 수도 없음이 증명되었다. 이것으로 이 문제가 해결되었는지에 대해서는 합의된 바가 없다.	1963년
2(영어판)	산술의 공리들이 무모순임을 증명하라.	쿠르트 괴델과 게르하르트 겐첸의 결과가 이 문제를 해결했는지에 대한 합의가 존재하지 않는다. 1931년에 증명된 괴델의 제2 불완전성 정리는 산술의 공리계가 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없음을 보였으며, 1936년에 겐첸은 순서수 ε0(영어판) 위에서 정초 관계를 정의할 수 있으면 산술의 무모순성을 증명할 수 있음을 보였다.	1936년
3(영어판)	부피가 같은 두 다면체에 대해, 하나를 유한 개의 조각으로 잘라낸 뒤 붙여서 다른 하나를 만들어내는 것이 언제나 가능한가?	부정적으로 해결. 덴 불변량(영어판)을 사용하여 증명.	1900년
4(영어판)	측지선이 항상 직선인 기하 공간을 모두 찾아라.	해결 여부를 말하기에는 문제의 내용이 너무 애매하다.[1]
5(영어판)	연속군은 언제나 미분군인가?	문제를 어떻게 해석하는지에 따라 앤드루 글리슨(영어판)이 해결했다고 볼 수도 있다. 그러나 힐베르트-스미스 추측(영어판)과 동치인 것으로 해석할 경우에는 여전히 미해결 문제이다.	1953?
6(영어판)	물리학 전체를 공리화하라.	문제를 어떻게 보느냐에 해결 여부가 다름.
7(영어판)	a(≠ 0,1)가 대수적 수이고 b가 대수적 무리수일 때, ab은 초월수인가?	긍정적으로 해결. 겔폰트-슈나이더 정리 참고.	1935년
8	리만 가설: 리만 제타 함수의 비자명근의 실수부는 항상 1/2인가? 골드바흐 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는가?	둘 다 미해결.
9(영어판)	모든 대수적 수체에 대해 일반화된 상호 법칙을 찾으라.	부분적으로 해결. 유체론의 발전으로 아벨 확대에 대해서는 해결되었으나 (아르틴 상호 법칙), 비아벨 확장에 대해서는 풀리지 않은 상태이다.
10(영어판)	임의의 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지를 판별하는 알고리즘을 제시하라.	부정적으로 해결: 마티야세비치의 정리(영어판)에 따라 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다.	1970년
11(영어판)	대수적 수를 계수로 갖는 이차 형식의 해 구하기.	부분적으로 해결됨.
12(영어판)	유리수체의 아벨 확대에 대해 적용되는 크로네커-베버 정리를 임의의 수체에 대해 일반화하라.	미해결.
13(영어판)	임의의 7차 방정식을 2변수 대수적 함수를 이용해 풀라.	미해결. 2변수 연속 함수를 이용하면 가능하다는 것은 1957년 블라디미르 아르놀트가 증명했지만, 2변수 대수 함수에 대해서는 미해결이다.
14(영어판)	특수한 완비 함수족의 유한성의 증명.	나가타 마사요시가 반례를 찾아내, 일반적으로는 성립하지 않음이 증명되었다.	1959년
15(영어판)	슈베르트 계산법(영어판)에 대한 엄밀한 기초를 제시하라.	부분적으로 해결.
16(영어판)	대수 곡선 및 대수 곡면의 위상	미해결.
17(영어판)	음이 아닌 실수 계수를 가진 임의의 다변수 다항식을 항상 유리 함수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있는가?	해결: 에밀 아르틴이 증명했으며, 필요한 제곱의 개수의 상한도 발견되었다.	1927년
18(영어판)	비면추이 타일링(영어판)으로만 테셀레이션을 할 수 있는 다면체가 존재하는가? 가장 밀도가 높은 공 쌓기(영어판)는 무엇인가?	(1) 첫 번째는 카를 라인하르트(영어판)에 의해 해결. (2) 두 번째(케플러의 추측)는 컴퓨터를 이용한 증명으로 해결.[2] 정육면체 모양으로 쌓으나 육각형 모양으로 쌓으나 양쪽 다 밀도가 74%이다.	(1) 1928년 (2) 1998년
19(영어판)	라그랑지언의 해는 언제나 해석적인가?	긍정적으로 해결: 엔니오 데 조르지(영어판)가 증명했고, 나중에 존 포브스 내시도 독자적인 방법으로 증명했다.	1957년
20(영어판)	경계값 조건을 갖는 모든 변분법 문제는 해를 갖는가?	해결: 20세기 전체에 걸친 연구의 결과로 비선형적인 경우에 대해 해를 찾을 수 있었다.
21(영어판)	주어진 모노드로미 군을 갖는 선형 미분방정식(영어판)의 존재성을 증명하라.	해결. 문제를 어떻게 해석하는지에 따라 긍정적이거나 부정적인 해결로 볼 수 있다.
22(영어판)	보형함수(영어판)를 이용한 해석적 관계의 균일화.	해결.
23(영어판)	변분법의 추가적 발전.	증명을 할 수 있는가를 판단하기엔 너무 모호한 명제

24번째 문제

처음에 힐베르트는 24문제를 생각하였으나, 한 문제를 공개하지 않았다. 이 24번째 문제는 나중에 독일의 수학 역사학자인 뤼디거 틸레(영어판)가 힐베르트가 문제들을 공개한 지 100주년인 2000년에 재발견하였다.