원자 궤도 - Wikiwand

양자역학에서 원자 궤도 또는 원자 오비탈(Atomic orbital, ⁱ/ˈɔːrbɪtəl/)은 원자 내 전자의 위치와 파동과 같은 행동을 설명하는 함수이다.^[1] 이 함수는 원자핵 주위의 전자의 전하 분포를 설명하며, 핵 주위의 특정 영역에서 전자를 찾을 확률을 계산하는 데 사용될 수 있다.^[2]

원자 내 각 궤도는 세 가지 양자수 $n$ , $ℓ$ , $m ℓ$ 값의 집합으로 특징이 나눠진다. 이들은 각각 전자의 에너지, 궤도 각운동량, 선택된 축을 따라 투영된 궤도 각운동량(자기양자수)에 해당한다. 자기양자수가 잘 정의된 궤도는 일반적으로 복소수 값을 가진다. 실수 값을 가진 궤도는 $m ℓ$ 및 $-m ℓ$ 궤도의 선형 결합으로 형성될 수 있으며, 종종 그 각형 구조를 설명하는 관련 조화 다항식(예: xy, x² − y²)을 사용하여 표시된다.

궤도에는 최대 두 개의 전자가 차지할 수 있으며, 각 전자는 자체적인 스핀 투영 $m_{s}$ 를 가진다. s 오비탈, p 오비탈, d 오비탈, f 오비탈이라는 간단한 이름은 각각 각운동량 양자수 $ℓ = 0, 1, 2,$ 및 $3$ 을 가진 궤도를 지칭한다. 이 이름은 n 값과 함께 원자의 전자 배열을 설명하는 데 사용된다. 오비탈의 영어 문자는 초기 분광학계가 특정 알칼리 금속 분광선을 날카로운(Sharp), 주요한(Principal), 퍼진(Diffuse), 근본적인(Fundamental) 계열로 부른 것에서 유래했다. $ℓ > 3$ 인 궤도는 알파벳 순서(g, h, i, k, ...)로 이어진다.^[3] 일부 언어에서는 문자 "i"와 "j"를 구별하지 않으므로 j는 생략한다.^[4]^[5]^[6]

원자 궤도 함수는 물질에서 전자의 미시적 행동을 시각화하는 현대적인 틀인 원자 궤도 모델(또는 전자 구름 또는 파동 역학 모델)의 기본 구성 요소이다. 이 모델에서 원자의 전자 구름은 단순한 수소형 원자 궤도 함수의 곱인 전자 배열로 (근사적으로) 구성된 것으로 볼 수 있다. 주기율표 내에서 2, 6, 10, 14개의 원소 구역의 반복적인 주기성은 각각 완전한 s, p, d, f 궤도를 차지하는 총 전자 수에서 자연스럽게 발생한다. 그러나 양자수 $n$ 의 값이 높아질수록, 특히 원자가 양전하를 띠는 경우 특정 하위 껍질의 에너지가 매우 유사해지므로 전자로 채워지는 순서(예: Cr = [Ar]4s¹3d⁵ 및 Cr²⁺ = [Ar]3d⁴)는 다소 임의적으로만 합리화될 수 있다.

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전자 속성

요약

관점

양자역학의 발전과 실험 결과(예: 전자의 이중 슬릿 회절)를 통해, 원자핵 주위를 공전하는 전자가 단순히 입자로 완전히 설명할 수 없으며, 파동-입자 이중성으로 설명해야 필요가 있다는 것이 밝혀졌다. 이러한 의미에서 전자는 다음과 같은 속성을 가진다.

파동과 같은 속성:

전자는 별 주위를 공전하는 행성처럼 핵 주위를 공전하지 않고, 대신 정상파로 존재한다. 따라서 전자가 취할 수 있는 가장 낮은 에너지는 끈 위의 파동의 기본 주파수와 유사하다. 더 높은 에너지 상태는 그 기본 주파수의 조화파와 유사하다.
전자는 결코 한 점에 고정되어 있지 않지만, 한 점에서 전자와 상호작용할 확률은 전자의 파동 함수에서 찾을 수 있다. 전자의 전하는 공간에 연속적으로 분포되어 있는 것처럼 작용하며, 어느 지점에서든 전자의 파동 함수의 제곱 크기에 비례한다.

입자와 같은 속성:

핵 주위를 공전하는 전자의 수는 정수일 수밖에 없다.
전자는 입자처럼 궤도 사이를 점프한다. 예를 들어, 하나의 광자가 전자에 부딪히면 오직 하나의 전자만 결과적으로 상태를 바꾼다.
전자는 다음과 같은 입자적 특성을 유지한다: 각 파동 상태는 전자 입자와 동일한 전하를 가진다. 각 파동 상태는 양자 중첩에 따라 단일한 불연속 스핀(스핀 업 또는 스핀 다운)을 가진다.

따라서 전자는 단순한 고체 입자로 설명될 수 없다. 비유하자면, 비교적 작은 행성(핵) 주위에 분포된 크고 종종 이상한 모양의 "대기"(전자)와 같다고 할 수 있다. 원자 궤도는 하나의 전자가 존재할 때만 이 "대기"의 모양을 정확하게 설명한다. 더 많은 전자가 추가되면, 추가된 전자는 핵 주위의 공간을 더 고르게 채우는 경향이 있어 결과적으로("전자 구름"^[7]) 불확정성 원리 때문에 전자의 위치를 설명하는 전반적인 구형의 확률 영역을 형성하는 경향이 있다.

여기서 설명된 궤도 '상태'는 궤도 내 전자의 고유 상태에 불과하다는 점을 기억해야 한다. 실제 전자는 상태의 양자 중첩에 존재하며, 이는 복소수 가중치를 가진 가중 평균과 유사하다. 예를 들어, 전자는 순수한 고유 상태 (2, 1, 0)에 있을 수도 있고 혼합 상태 ⁠1/2⁠(2, 1, 0) + ⁠1/2⁠ $i$ (2, 1, 1)에 있을 수도 있으며 심지어 혼합 상태 ⁠2/5⁠(2, 1, 0) + ⁠3/5⁠ $i$ (2, 1, 1)에 있을 수도 있다. 각 고유 상태에 대해 속성은 고유 값을 가진다. 따라서 방금 언급된 세 가지 상태에 대해 $n$ 의 값은 2이고, $l$ 의 값은 1이다. 두 번째 및 세 번째 상태의 경우 $m_{l}$ 의 값은 0과 1의 중첩이다. 상태의 중첩으로서 정확히 0이거나 정확히 1 중 하나지만 하나로 찝을 수 없는 모호한 상태이며 ⁠1/2⁠와 같은 중간 또는 평균 값의 상태가 아니다. 고유 상태 (2, 1, 1)와 (3, 2, 1)의 중첩은 모호한 $n$ 과 $l$ 을 가지지만 $m_{l}$ 은 확실히 1일 것이다. 고유 상태는 수학을 다루기 쉽게 만든다. 다른 고유 상태 기저를 선택하여 다른 기저의 고유 상태를 중첩할 수 있다(아래 실수 궤도 참조).

공식적인 양자 역학적 정의

원자 궤도는 공식적인 양자역학 언어로 더 정확하게 정의할 수 있다. 이들은 원자 원자핵의 전기장의 영향으로 원자에 묶인 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 근사 해이다. 특히 양자 역학에서 원자의 상태, 즉 원자 해밀토니언의 고유 상태는 단일 전자 함수의 반대칭화된 곱(슬레이터 행렬식)의 선형 결합으로의 확장(참조: 배열 상호작용 확장 및 바탕 함수 집합)으로 근사된다. 이 단일 전자 함수의 공간 구성 요소가 원자 궤도 함수라고 불린다. (스핀 구성 요소도 고려할 때 원자 스핀 오비탈이라고 부른다.) 실제 상태는 모든 전자의 좌표에 대한 함수이므로 그들의 운동은 서로 상관관계를 갖지만 이는 종종 단일 전자 파동 함수의 곱이라는 독립 입자 모델로 근사된다.^[8] (예를 들어 런던 분산력은 전자의 운동 상관관계에 의존한다.)

원자물리학에서 원자 스펙트럼 선은 원자의 양자 상태 간의 전이에 해당한다. 이 상태들은 항기호에 요약된 일련의 양자수로 표시되며 일반적으로 특정 전자 배열, 즉 원자 궤도의 점유 방식과 연관된다 (예: 네온의 바닥 상태에 대한 1s² 2s² 2p⁶ — 항기호: ¹S₀).

이 표기법은 해당 슬레이터 행렬식이 배열 상호작용 확장(configuration interaction expansion)에서 명확하게 더 높은 가중치를 가진다는 것을 의미한다. 따라서 원자 궤도 개념은 주어진 전이와 관련된 여기 과정을 시각화하는 핵심 개념이다. 예를 들어, 주어진 전이에 대해 그 전자가 점유된 궤도에서 주어진 비점유 궤도로의 전자의 여기와 일치한다고 말할 수 있다. 그럼에도 불구하고 전자는 파울리 배타 원리를 따르는 페르미온이며 서로 구별될 수 없다는 점을 명심해야 한다.^[9] 더욱이, 때로는 배열 상호작용 확장이 매우 느리게 수렴되어 단순한 단일 행렬식 파동 함수에 대해 전혀 말할 수 없는 경우가 발생한다. 이는 전자 상관관계가 큰 경우에 해당한다.

근본적으로 원자 궤도는 비록 많은 전자가 단일 전자 원자에 있지 않더라도 단일 전자 파동 함수이다. 따라서 단일 전자 관점은 근사치이다. 궤도에 대해 생각할 때 우리는 종종 하트리-폭 근사에 의해 크게 영향을 받은 궤도 시각화를 접하게 되는데, 이는 분자궤도함수 이론의 복잡성을 줄이는 한 가지 방법이다.

궤도 유형

원자 궤도는 수소형 원자("원자" 즉, 전자가 하나인 원자)에 대한 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해인 수소형 "오비탈"일 수 있다. 또는 원자 궤도는 하나의 전자의 좌표에 의존하는 함수(즉, 오비탈)를 지칭하지만, 원자 또는 분자의 모든 전자의 동시 좌표에 의존하는 파동 함수를 근사하기 위한 시작점으로 사용된다. 오비탈에 대해 선택된 좌표계는 일반적으로 원자에서는 구면 좌표계 $(r, θ, φ)$ 이고, 다원자 분자에서는 데카르트 좌표계 $(x, y, z)$ 이다. 여기서 구면 좌표계의 장점은 궤도 파동 함수가 단일 좌표에 각각 의존하는 세 가지 인수의 곱인 $ψ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ)$ 이라는 점이다. 원자 궤도의 각 인자 $Θ(θ) Φ(φ)$ 는 구면 조화 함수 $Y ℓm (θ, φ)$ 의 실수 결합으로 s, p, d 등의 함수를 생성한다 (여기서 $ℓ$ 과 $m$ 은 양자수이다). 다전자 원자와 분자의 특성을 계산하기 위한 시작점으로 선택할 수 있는 방사형 함수 $R(r)$ 에는 일반적으로 세 가지 수학적 형태가 있다.

수소형 궤도는 단일 전자와 핵에 대한 슈뢰딩거 방정식의 정확한 해에서 파생된다. 핵으로부터의 거리 r에 의존하는 함수의 부분은 방사형 마디를 가지며 $e^{-\alpha r}$ 로 감소한다.
슬레이터형 궤도 함수(STO)는 방사형 마디가 없지만 수소형 궤도처럼 핵에서 멀어질수록 감소하는 형태이다.
가우스형 궤도 함수(가우스)는 방사형 마디가 없고 $e^{-\alpha r^{2}}$ 로 감소한다.

수소형 궤도가 여전히 교육 도구로 사용되지만, 컴퓨터의 출현으로 STO는 원자 및 이원자 분자에 대해 선호되고 있다. 왜냐하면 STO의 조합이 수소형 궤도의 마디를 대체할 수 있기 때문이다. 가우스는 일반적으로 3개 이상의 원자를 가진 분자에 사용된다. 가우스 자체는 STO만큼 정확하지 않지만, 많은 가우스의 조합은 수소형 궤도의 정확도를 달성할 수 있다.

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역사

요약

관점

"오비탈(orbital)"이라는 용어는 로버트 멀리컨이 1932년에 하나의 전자 파동 함수를 줄인 말로 도입했다.^[10]^[11] 닐스 보어는 1913년경 전자가 일정한 각운동량을 가지고 조밀한 핵 주위를 회전할 수 있다고 설명했다.^[12] 보어의 모델은 1911년 어니스트 러더퍼드의 핵 주위를 움직이는 전자에 대한 설명의 개선판이다. 일본 물리학자 나가오카 한타로는 일찍이 1904년에 전자의 행동에 대한 궤도 기반 가설을 발표했다.^[13] 이 이론은 각각 단순한 이해에서 시작하여 더 정확하고 복잡해지는 새로운 관찰을 바탕으로 구축되었다. 이러한 전자 "궤도"의 행동을 설명하는 것은 양자역학 발전의 원동력 중 하나였다.^[14]

초기 모델

1897년 조지프 존 톰슨이 전자를 발견하면서,^[15] 원자가 자연의 가장 작은 구성 요소가 아니라 복합 입자라는 것이 명확해졌다. 원자 내부의 새로 발견된 구조는 많은 사람들이 원자 구성 요소가 어떻게 상호 작용할지 상상하도록 유도했다. 톰슨은 여러 전자가 양전하를 띤 젤리 같은 물질 내의 궤도형 고리에서 회전한다고 이론화했고,^[16] 전자가 발견된 시점부터 1909년까지 이 "푸딩 모형"은 원자 구조에 대한 가장 널리 받아들여지는 설명이었다.

톰슨의 발견 직후, 나가오카 한타로는 전자 구조에 대한 다른 모델을 예측했다.^[13] 푸딩 모델과 달리 나가오카의 "토성형 모델"에서는 양전하가 중심 핵에 집중되어 전자를 토성의 고리와 유사한 원형 궤도로 끌어당겼다. 당시 나가오카의 연구에 주목한 사람은 거의 없었지만,^[17] 나가오카 자신도 이론을 구상할 때부터 근본적인 결함을 인식했다. 즉, 고전적인 전하를 띤 물체는 전기장의 힘을 받아 가속하기 때문에 전자기 복사로 에너지를 잃어 궤도 운동을 유지할 수 없다는 것이다.^[18] 그럼에도 불구하고 토성형 모델은 동시대의 어떤 모델보다도 현대 이론과 더 많은 공통점을 가지고 있었다.

보어 원자

1909년 어니스트 러더퍼드는 원자 질량의 대부분이 핵에 밀집되어 있으며, 핵 또한 양전하를 띠고 있다는 것을 발견했다. 1911년 그의 분석을 통해 푸딩 모델이 원자 구조를 설명할 수 없다는 것이 명확해졌다. 1913년 러더퍼드의 박사 후 연구원인 닐스 보어는 새로운 원자 모델을 제안했다. 이 모델에서 전자는 핵 주위를 고전적인 주기성을 가지고 공전하지만, ħ 단위로 양자화된 특정 각운동량 값만 가질 수 있었다.^[12] 이 제약은 자동적으로 특정 전자 에너지 수준만을 허용했다. 보어 모형은 바닥 상태에서 복사로 인한 에너지 손실 문제를 해결하고(이보다 낮은 상태는 없다고 선언하여), 더 중요하게는 스펙트럼 선의 기원을 설명했다.

알베르트 아인슈타인의 광전 효과 설명을 사용하여 원자의 에너지 준위와 방출되는 빛의 파장을 연결한 보어의 이론 이후 원자 내 전자의 구조와 원자의 방출 스펙트럼 및 흡수 스펙트럼 사이의 연관성은 원자 내 전자를 이해하는 데 점점 더 유용한 도구가 되었다. 방출 및 흡수 스펙트럼의 가장 두드러진 특징(19세기 중반부터 실험적으로 알려짐)은 이러한 원자 스펙트럼이 이산적인 선을 포함한다는 것이었다. 보어 모델의 중요성은 방출 및 흡수 스펙트럼의 선을 전자가 원자 주위를 차지할 수 있는 궤도 사이의 에너지 차이와 연결했다는 점이다. 그러나 이는 보어가 전자에 어떤 종류의 파동과 같은 특성을 부여함으로써 달성된 것은 아니었다. 전자가 물질파처럼 행동할 수 있다는 아이디어는 11년 후에야 제안되었기 때문이다. 그럼에도 불구하고 보어 모델의 양자화된 각운동량 사용과 그에 따른 양자화된 에너지 준위는 원자 내 전자를 이해하는 데 중요한 진전이었으며, 양자화된 제약이 원자 내의 모든 불연속적인 에너지 준위와 스펙트럼을 설명해야 한다고 제안함으로써 양자역학 발전에도 중요한 진전을 가져왔다.

루이 드 브로이가 1924년에 전자 물질파의 존재를 제안하고, 1926년 슈뢰딩거 방정식을 통한 수소형 원자의 완전한 처리가 이루어지기 직전의 짧은 기간 동안, 보어 전자의 "파장"은 그 운동량의 함수로 볼 수 있었다. 따라서 보어 궤도를 도는 전자는 그 반파장의 배수로 원형 궤도를 도는 것으로 보였다. 보어 모델은 짧은 기간 동안 '파장' 논증에 의해 제공된 추가 제약이 있는 고전적 모델로 볼 수 있었다. 그러나 이 시기는 1926년의 완전한 3차원 파동 역학에 의해 즉시 대체되었다. 현재 우리의 물리적 이해에서 보어 모델은 각운동량의 양자화 때문에 준고전적 모델이라고 불리며, 보어 모델이 제안된 지 십여 년 후에 뒤늦게 나타난 전자 파장과의 관계 때문은 아니다.

보어 모델은 수소의 방출 및 흡수 스펙트럼을 설명할 수 있었다. 보어 모델에서 n = 1, 2, 3 등 상태의 전자 에너지는 현재 물리학의 에너지와 일치한다. 그러나 이것은 헬륨(전자 2개), 네온(전자 10개), 아르곤(전자 18개)이 유사한 화학적 비활성성을 보이는 것과 같이 주기율표에 표현된 서로 다른 원자들 사이의 유사성을 설명하지 못했다. 현대 양자역학은 이를 전자 껍질과 파울리 배타 원리를 통해 결정되는 수의 전자를 각각 수용할 수 있는 부껍질로 설명한다. 따라서 n = 1 상태는 하나 또는 두 개의 전자를 수용할 수 있으며, n = 2 상태는 2s 및 2p 부껍질에 최대 8개의 전자를 수용할 수 있다. 헬륨에서는 모든 n = 1 상태가 완전히 점유된다. 네온의 n = 1 및 n = 2 상태도 마찬가지이다. 아르곤에서는 3s 및 3p 부껍질이 8개의 전자로 유사하게 완전히 점유된다. 양자역학은 3d 부껍질도 허용하지만, 이는 아르곤의 3s 및 3p보다 에너지가 높고(수소의 상황과는 반대) 비어 있다.

현대적 개념과 하이젠베르크 불확정성 원리와의 연관성

베르너 하이젠베르크가 불확정성 원리를 발견한 직후,^[19] 닐스 보어는 어떤 종류의 확률파동의 존재도 파동 자체를 생성하기 위해 주파수 확산이 필요하므로 파동 주파수와 파장에 불확정성을 의미한다고 언급했다.^[20] 모든 입자 운동량이 파동과 관련되어 있는 양자역학에서는 이러한 파동 팩의 형성이 파동, 즉 입자를 공간에 국소화한다. 양자역학적 입자가 묶여 있는 상태에서는 파동 다발로 국소화되어야 하며, 파동 다발의 존재와 최소 크기는 입자 파장, 따라서 운동량과 에너지의 확산 및 최소값을 의미한다. 양자역학에서는 입자가 공간의 더 작은 영역에 국소화될수록 관련 압축 파동 팩은 더 크고 더 큰 운동량 범위를 요구하며, 따라서 더 큰 운동 에너지를 요구한다. 따라서 입자를 더 작은 공간 영역에 포함하거나 가두는 결합 에너지는 공간 영역이 작아질수록 무한히 증가한다. 입자는 무한한 입자 운동량을 필요로 하므로 공간의 기하학적 지점에 제한될 수 없다.

화학 분야에서는 에르빈 슈뢰딩거, 라이너스 폴링, 멀리컨 등은 하이젠베르크 관계의 결과로 전자가 파동 다발로서 궤도 내에서 정확한 위치를 가질 수 없다는 점을 지적했다. 막스 보른은 전자의 위치가 그와 관련된 파동 팩을 설명하는 파동 함수 내의 특정 지점에서 전자를 찾을 가능성과 연결된 확률 분포로 설명될 필요가 있다고 제안했다. 새로운 양자역학은 정확한 결과를 제공하지 않고, 다만 다양한 가능한 결과의 발생 확률만을 제공했다. 하이젠베르크는 우리가 원자 내 전자처럼 움직이는 입자의 경로를 관찰할 수 없다면, 그 경로가 의미가 없다고 주장했다.

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오비탈 이름

오비탈 표기법 및 하위 껍질

오비탈에는 일반적으로 다음 형식으로 이름이 부여된다.

X\,\mathrm {type} \

여기서 X는 주양자수 $n$ 에 해당하는 에너지 준위이고, type은 오비탈의 모양 또는 하위 껍질을 나타내는 소문자이며, 방위 양자수 $ℓ$ 에 해당한다.

예를 들어, 1s 오비탈(개별 숫자와 문자로 발음: "원" "에스")은 가장 낮은 에너지 준위( $n = 1$ )이며, s로 표기되는 $ℓ = 0$ 의 각 양자수를 가진다. $ℓ = 1, 2, 3$ 인 오비탈은 각각 p, d, f로 표기된다.

주어진 n 및 $ℓ$ 에 대한 오비탈 집합을 부껍질(subshell)이라고 부르며 다음과 같이 표기한다.

X\,\mathrm {type} ^{y}\

위 첨자 y는 하위 껍질에 있는 전자의 수를 나타낸다. 예를 들어 2p⁴ 표기법은 원자의 2p 하위 껍질에 4개의 전자가 포함되어 있음을 나타낸다. 이 하위 껍질은 n = 2 및 $ℓ$ = 1인 3개의 오비탈을 가진다.

X선 표기법

또한 X선 과학에서 여전히 사용되는 덜 일반적인 체계인 X선 표기법이 있는데, 이는 오비탈 이론이 잘 이해되기 전에 사용되던 표기법의 연속이다. 이 시스템에서는 주양자수에 문자가 할당된다. $n = 1, 2, 3, 4, 5, ...$ 에 대해 해당 숫자에 할당된 문자는 각각 K, L, M, N, O, ... 이다.

수소형 오비탈

가장 단순한 원자 궤도는 수소 원자와 같이 하나의 전자를 가진 체계에 대해 계산된 궤도이다. 다른 원소의 원자가 단일한 전자(He⁺, Li²⁺ 등)로 이온화된 경우 수소와 매우 유사하며, 궤도는 동일한 형태를 취한다. 하나의 음전하 입자와 하나의 양전하 입자로 구성된 이 시스템에 대한 슈뢰딩거 방정식에서 원자 궤도는 에너지에 대한 해밀토니언 연산자의 고유 상태이다. 이들은 해석적으로 얻을 수 있는데, 이는 결과 궤도가 다항식 계열, 지수 함수 및 삼각 함수의 곱이라는 것을 의미한다. (참조: 수소 원자).

전자가 두 개 이상인 원자의 경우, 지배 방정식은 반복근사법을 통해서만 해결될 수 있다. 다전자 원자의 궤도는 수소의 궤도와 질적으로 유사하며, 가장 단순한 모델에서는 동일한 형태를 가진다고 간주된다. 보다 엄격하고 정밀한 분석을 위해서는 수치 근사가 사용되어야 한다.

주어진 (수소형) 원자 궤도는 세 가지 양자수(즉, $n$ , $ℓ$ , $m ℓ$ )의 고유한 값으로 식별된다. 양자수의 값을 제한하는 규칙과 그 에너지(아래 참조)는 원자의 전자 배열과 주기율표를 설명한다.

수소형 원자의 정지 상태(양자 상태)는 그 원자 궤도이다. 그러나 일반적으로 전자의 행동은 단일 궤도로 완전히 설명되지 않는다. 전자 상태는 여러 궤도의 시간 의존적인 "혼합"(원자 궤도 함수 선형 결합)으로 가장 잘 표현된다.

양자수 $n$ 은 보어 모형에서 처음 나타났는데, 여기서 각 원형 전자 궤도의 반지름을 결정했다. 그러나 현대 양자역학에서는 $n$ 이 핵으로부터 전자의 평균 거리를 결정한다. 동일한 n 값을 가진 모든 전자는 동일한 평균 거리에 존재한다. 이러한 이유로, 동일한 n 값을 가진 궤도는 "껍질"을 구성한다고 말한다. 동일한 n 값과 동일한 $ℓ$ 값을 가진 궤도는 더욱 밀접하게 관련되어 있으며, "아껍질"을 구성한다고 말한다.

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양자수

요약

관점

핵 주위 전자의 양자 역학적 특성 때문에 원자 궤도 함수는 양자수라고 알려진 일련의 정수로 고유하게 정의될 수 있다. 이 양자수들은 특정 값의 조합으로만 나타나며, 그 물리적 해석은 원자 궤도 함수의 실수 또는 복소수 버전을 사용하는지에 따라 달라진다.

복소수 오비탈

물리학에서 가장 일반적인 궤도 설명은 수소 원자에 대한 해를 기반으로 하며, 여기서 궤도는 방사형 함수와 순수 구면 조화 함수의 곱으로 주어진다. 양자수와 그 가능한 값을 지배하는 규칙은 다음과 같다.

주양자수 $n$ 은 전자의 에너지를 설명하며 항상 양의 정수이다. 사실, 어떤 양의 정수도 될 수 있지만 아래에서 논의하는 이유로 큰 숫자는 거의 나타나지 않는다. 각 원자는 일반적으로 각 n 값과 관련된 많은 궤도를 가지며, 이 궤도는 함께 때때로 전자 껍질이라고 불린다.

방위 양자수 $ℓ$ 은 각 전자의 궤도 각운동량을 설명하며 음이 아닌 정수이다. $n$ 이 정수 $n 0$ 인 껍질 내에서 $ℓ$ 은 관계 $0\leq \ell \leq n_{0}-1$ 를 만족하는 모든 (정수) 값을 포함한다. 예를 들어, $n = 1$ 껍질은 $\ell =0$ 을 가진 궤도만 가지며 $n = 2$ 껍질은 $\ell =0$ 및 $\ell =1$ 을 가진 궤도만 가진다. 특정 $ℓ$ 값과 관련된 궤도 집합을 때때로 총칭하여 부껍질(subshell)이라고 부른다.

자기양자수 $m_{\ell }$ 은 선택된 축을 따라 궤도 각운동량의 투영을 설명한다. 이 값은 해당 축 주위를 순환하는 전류의 크기와 암페어 회로 모델을 통한 전자의 자기 모멘트에 대한 궤도 기여도를 결정한다.^[21] 부껍질 $\ell$ 내에서 $m_{\ell }$ 은 $-\ell \leq m_{\ell }\leq \ell$ 범위의 정수 값을 얻는다.

위의 결과는 다음 표로 요약될 수 있다. 각 칸은 부껍질을 나타내며, 해당 부껍질에서 사용 가능한 $m_{\ell }$ 값을 나열한다. 빈 칸은 존재하지 않는 부껍질을 나타낸다.

자세한 정보

...

	$ℓ = 0 (s)$	$ℓ = 1 (p)$	$ℓ = 2 (d)$	$ℓ = 3 (f)$	$ℓ = 4 (g)$	...
$n = 1$	$m_{\ell }=0$					...
$n = 2$	0	−1, 0, 1				...
$n = 3$	0	−1, 0, 1	−2, −1, 0, 1, 2			...
$n = 4$	0	−1, 0, 1	−2, −1, 0, 1, 2	−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3		...
$n = 5$	0	−1, 0, 1	−2, −1, 0, 1, 2	−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3	−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4	...
...	...	...	...	...	...	...

부껍질은 일반적으로 $n$ - 및 $\ell$ - 값으로 식별된다. $n$ 은 숫자 값으로 표시되지만 $\ell$ 은 다음과 같이 문자로 표시된다: 0은 's', 1은 'p', 2는 'd', 3은 'f', 4는 'g'로 표시된다. 예를 들어 $n=2$ 및 $\ell =0$ 인 하위 껍질을 '2s 하위 껍질'이라고 말할 수 있다.

또한 각 전자는 스핀 s = ⁠1/2⁠로 주어지는 양자 역학적 스핀 형태의 각운동량을 가진다. 특정 축을 따라 투영된 스핀은 스핀 자기 양자수 m_s에 의해 주어지며 이는 +⁠1/2⁠ 또는 −⁠1/2⁠일 수 있다. 이 값은 각각 "스핀 업" 또는 "스핀 다운"이라고도 불린다.

파울리 배타 원리는 원자 내 두 전자가 네 가지 양자수 모두에 대해 동일한 값을 가질 수 없다고 명시한다. 주어진 세 양자수( $n$ , $ℓ$ , $m$ )에 대해 궤도에 두 전자가 있다면, 이 두 전자는 스핀 투영 m_s에서 달라야 한다.

위의 관습은 선호되는 축(예: 데카르트 좌표계의 z 방향)을 암시하며, 이 선호되는 축을 따라 선호되는 방향 또한 암시한다. 그렇지 않다면 $m = +1$ 과 $m = -1$ 을 구별할 의미가 없을 것이다. 따라서 이 모델은 이러한 대칭을 공유하는 물리적 체계에 적용될 때 가장 유용하다. 원자가 자기장에 노출되는 슈테른-게를라흐 실험은 그러한 예 중 하나를 제공한다.^[22]

실수 궤도

위에 설명된 복소수 궤도 대신, 특히 화학 문헌에서는 실수 원자 궤도를 사용하는 것이 일반적이다. 이 실수 궤도는 복소수 궤도의 간단한 선형 결합으로 유도된다. 콘돈-쇼틀리 위상 관례를 사용하면 실수 궤도는 복소수 궤도와 실수 구면 조화 함수가 복소수 구면 조화 함수와 관련되는 방식과 동일한 방식으로 관련된다. 양자수 $n$ , $ℓ$ , $m$ 을 가진 복소수 궤도를 $\psi _{n,\ell ,m}$ 이라고 하면, 실수 궤도 $\psi _{n,\ell ,m}^{\text{real}}$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.^[23]

${\begin{aligned}\psi _{n,\ell ,m}^{\text{real}}&={\begin{cases}{\sqrt {2}}(-1)^{m}{\text{Im}}\left\{\psi _{n,\ell ,|m|}\right\}&{\text{ for }}m<0\\[2pt]\psi _{n,\ell ,|m|}&{\text{ for }}m=0\\[2pt]{\sqrt {2}}(-1)^{m}{\text{Re}}\left\{\psi _{n,\ell ,|m|}\right\}&{\text{ for }}m>0\end{cases}}\\[4pt]&={\begin{cases}{\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{n,\ell ,-|m|}-(-1)^{m}\psi _{n,\ell ,|m|}\right)&{\text{ for }}m<0\\[2pt]\psi _{n,\ell ,|m|}&{\text{ for }}m=0\\[4pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\psi _{n,\ell ,-|m|}+(-1)^{m}\psi _{n,\ell ,|m|}\right)&{\text{ for }}m>0\end{cases}}\end{aligned}}$

만약 $\psi _{n,\ell ,m}(r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )$ 이고 $R_{nl}(r)$ 이 궤도의 방사형 부분이라면, 이 정의는 $\psi _{n,\ell ,m}^{\text{real}}(r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ 와 동등하다. 여기서 $Y_{\ell m}$ 은 복소수 구면 조화 함수 $Y_{\ell }^{m}$ 의 실수 부분 또는 허수 부분과 관련된 실수 구면 조화 함수이다.

실제 구면 조화 함수는 원자가 결정성 고체에 내장되어 있을 때 물리적으로 관련성이 있다. 이 경우 여러 개의 선호되는 대칭 축이 있지만 단일 선호 방향은 없다. 실제 원자 궤도 함수는 초급 화학 교과서에서 더 자주 접하고 일반적인 궤도 시각화에 표시된다.^[24] 실제 수소형 궤도에서는 양자수 $n$ 과 $ℓ$ 이 복소수 대응물과 동일한 해석과 중요성을 가지지만, $m$ 은 더 이상 좋은 양자수가 아니다(그러나 그 절댓값은 좋다).

일부 실수 궤도에는 단순한 $\psi _{n,\ell ,m}$ 지정 외에 특정 이름이 부여된다. 양자수 $ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...$ 을 가진 궤도는 $s, p, d, f, g, h, i, ...$ 궤도라고 불린다. 이를 통해 $2{\text{p}}_{\pm 1}=\psi _{2,1,\pm 1}$ 와 같은 복소수 궤도에 이름을 할당할 수 있다. 첫 번째 기호는 $n$ 양자수이고, 두 번째 문자는 특정 $ℓ$ 양자수에 대한 기호이며, 아래 첨자는 $m$ 양자수이다.

실수 궤도에 대한 전체 궤도 이름이 어떻게 생성되는지에 대한 예시로, $\psi _{n,1,\pm 1}^{\text{real}}$ 을 계산할 수 있다. 구면 조화 함수표에서, ${\textstyle \psi _{n,1,\pm 1}=R_{n,1}Y_{1}^{\pm 1}=\mp R_{n,1}{\sqrt {3/8\pi }}\cdot (x\pm iy)/r}$ 이며, ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ 이다. 그러면

${\begin{aligned}\psi _{n,1,+1}^{\text{real}}&=R_{n,1}{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {x}{r}}\\\psi _{n,1,-1}^{\text{real}}&=R_{n,1}{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {y}{r}}\end{aligned}}$

마찬가지로 ${\textstyle \psi _{n,1,0}=R_{n,1}{\sqrt {3/4\pi }}\cdot z/r}$ 이다. 더 복잡한 예시로,

$\psi _{n,3,+1}^{\text{real}}=R_{n,3}{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}$

이 모든 경우에, 분자에 나타나는 $x, y, z$ 다항식을 검토하고 약칭하여 궤도의 데카르트 레이블을 생성한다. $z$ 에서 가장 높은 지수를 가진 항을 제외하고는 $z, r$ 다항식의 어떤 항도 무시한다. 그런 다음 약칭된 다항식을 원자 상태의 아래 첨자 레이블로 사용하여, 위와 동일한 명명법으로 $n$ 과 $\ell$ 양자수를 나타낸다.

${\begin{aligned}\psi _{n,1,-1}^{\text{real}}&=n{\text{p}}_{y}={\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(n{\text{p}}_{-1}+n{\text{p}}_{+1}\right)\\\psi _{n,1,0}^{\text{real}}&=n{\text{p}}_{z}=2{\text{p}}_{0}\\\psi _{n,1,+1}^{\text{real}}&=n{\text{p}}_{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(n{\text{p}}_{-1}-n{\text{p}}_{+1}\right)\\\psi _{n,3,+1}^{\text{real}}&=nf_{xz^{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(nf_{-1}-nf_{+1}\right)\end{aligned}}$

위의 표현은 모두 양자 물리학자가 선호하는 콘돈-쇼틀리 위상 관례를 사용한다.^[25]^[26] 구면 조화 함수의 위상에 대한 다른 관례도 존재한다.^[27]^[28] 이러한 다른 관례에 따라 ${\text{p}}_{x}$ 및 ${\text{p}}_{y}$ 오비탈은 위에서 보여진 것과 달리 ${\text{p}}_{+1}$ 과 ${\text{p}}_{-1}$ 의 합과 차로 나타날 수 있다.

아래는 원자 궤도에 대한 이 데카르트 다항식 이름 목록이다.^[29]^[30] 문헌에 $\ell >3$ 에 대한 긴 데카르트 구면 조화 다항식을 약칭하는 방법에 대한 언급이 없는 것으로 보아 이 명명법에 따른 g 오비탈 이상의 명명에 대한 합의는 없는 것으로 보인다.

자세한 정보

...

	$\psi _{m=-3}+\psi _{m=+3}$	$\psi _{m=-2}+\psi _{m=+2}$	$\psi _{m=-1}+\psi _{m=+1}$	$\psi _{m=0}$	$\psi _{m=-1}-\psi _{m=+1}$	$\psi _{m=-2}-\psi _{m=+2}$	$\psi _{m=-3}-\psi _{m=+3}$
$\ell =0$				${\text{s}}$
$\ell =1$			${\text{p}}_{y}$	${\text{p}}_{z}$	${\text{p}}_{x}$
$\ell =2$		${\text{d}}_{x^{2}-y^{2}}$	${\text{d}}_{yz}$	${\text{d}}_{z^{2}}$	${\text{d}}_{xz}$	${\text{d}}_{xy}$
$\ell =3$	${\text{f}}_{y(3x^{2}-y^{2})}$	${\text{f}}_{z(x^{2}-y^{2})}$	${\text{f}}_{yz^{2}}$	${\text{f}}_{z^{3}}$	${\text{f}}_{xz^{2}}$	${\text{f}}_{xyz}$	${\text{f}}_{x(x^{2}-3y^{2})}$

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오비탈의 모양

요약

관점

오비탈 모양을 보여주는 간단한 그림은 오비탈을 차지하는 전자가 발견될 가능성이 있는 공간 영역의 각형태를 설명하기 위한 것이다. 이 다이어그램은 전자가 발견될 수 있는 전체 영역을 보여줄 수 없다. 왜냐하면 양자역학에 따르면 전자를 공간의 (거의) 어느 곳에서든 찾을 수 있는 0이 아닌 확률이 존재하기 때문이다. 대신 이 다이어그램은 확률 밀도 $| ψ(r, θ, φ) | 2$ 가 일정한 값을 가지는 경계 또는 등고면의 근사적인 표현이며, 이 경계 내에서 전자를 찾을 확률이 특정 값(예: 90%)이 되도록 선택된다. 절댓값의 제곱인 $| ψ | 2$ 는 어디에서나 음이 아닌 값을 가지지만, 오비탈 그림의 각 하위 영역에서는 파동 함수 $ψ(r, θ, φ)$ 의 부호가 종종 표시된다.

때로는 $ψ$ 함수가 복소수이기 때문에 절댓값을 취할 때 위상이 사라지는 확률 밀도를 보여주는 $| ψ(r, θ, φ) | 2$ 대신 위상을 보여주기 위해 $ψ$ 함수가 그래프로 그려지기도 한다. $| ψ(r, θ, φ) | 2$ 오비탈 그래프는 $ψ(r, θ, φ)$ 그래프보다 구형성이 덜하고 더 얇은 로브를 가지지만, 동일한 위치에 동일한 수의 로브를 가지며 그 외에는 식별 가능하다. 이 문서는 파동 함수 위상을 보여주기 위해 주로 $ψ(r, θ, φ)$ 그래프를 보여준다.

로브는 두 개의 역회전하는 링-공명하는 진행파 $m$ 및 $-m$ 모드 간의 정상파 간섭 패턴으로 볼 수 있다. xy 평면에 대한 궤도의 투영은 원주를 따라 공명하는 $m$ 파장을 가진다. 드물게 표시되지만 진행파 해는 회전하는 띠 모양의 원환면으로 볼 수 있으며 이 띠는 위상 정보를 나타낸다. 각 $m$ 에 대해 두 개의 정상파 해 $⟨m⟩ + ⟨-m⟩$ 과 $⟨m⟩ - ⟨-m⟩$ 이 존재한다. 만약 $m = 0$ 이면 궤도는 수직이고 역회전 정보는 알 수 없으며, 궤도는 z축 대칭이다. 만약 $ℓ = 0$ 이면 역회전 모드가 없다. 오직 방사형 모드만 존재하며 모양은 구형 대칭이다.

마디 평면과 마디 구는 확률 밀도가 사라지는 표면이다. 마디 표면의 수는 양자수 $n$ 과 $ℓ$ 에 의해 결정된다. 방위 양자수 $ℓ$ 을 가진 궤도는 원점을 통과하는 $ℓ$ 개의 방사형 마디 평면을 가진다. 예를 들어, s 궤도( $ℓ = 0$ )는 구형 대칭이며 마디 평면이 없지만, p 궤도( $ℓ = 1$ )는 로브 사이에 단일 마디 평면을 가진다. 마디 구의 수는 $n-ℓ-1$ 과 같으며, 이는 양자수에 대한 제한 $ℓ \leq n-1$ 과 일치한다. 주양자수는 전체 마디 표면의 수인 $n-1$ 을 제어한다.^[31] 대략적으로 말하면, $n$ 은 궤도의 크기와 에너지이고, $ℓ$ 은 궤도 이심률과 유사하며, $m$ 은 방향이다.

일반적으로 $n$ 은 주어진 핵에 대한 궤도의 크기와 에너지를 결정한다. 즉 $n$ 이 증가하면 궤도의 크기도 증가한다. 더 무거운 원소의 더 높은 핵 전하 $Z$ 는 궤도를 더 가벼운 원소에 비해 수축시켜, 전자 수가 증가하더라도 원자의 크기는 대략 일정하게 유지된다.

또한 일반적으로 $ℓ$ 은 오비탈의 모양을 결정하고, $m ℓ$ 은 그 방향을 결정한다. 그러나 일부 오비탈은 복소수로 된 방정식으로 기술되기 때문에 모양은 $m ℓ$ 에도 의존할 때가 있다. 함께 주어진 $ℓ$ 과 $n$ 에 대한 오비탈 전체 세트는 점점 더 복잡한 로브와 마디를 가지더라도 가능한 한 대칭적으로 공간을 채운다.

단일 s 오비탈( $\ell =0$ )은 구형이다. $n = 1$ 의 경우 대략 단단한 공 모양이며(중심에서 밀도가 가장 높고 지수 함수적으로 바깥으로 희미해진다), $n \geq 2$ 의 경우 각 단일 s 오비탈은 중첩된 껍질로 구성된 구형 대칭 표면으로 이루어져 있다(즉, "파동 구조"는 정현파 방사형 성분을 따르며 방사형이다). 오른쪽의 이러한 중첩된 껍질 단면 그림을 참조하라. 모든 $n$ 값에 대한 s 오비탈은 핵 중심에 반마디(높은 파동 함수 밀도 영역)를 가진 유일한 오비탈이다. 다른 모든 오비탈(p, d, f 등)은 각운동량을 가지므로 핵을 피한다(핵에 파동 마디가 있음). 최근에는 스캐닝 투과 전자 현미경과 에너지 분산 엑스선분광학을 사용하여 SrTiO₃ 결정 내 1s 및 2p 오비탈을 실험적으로 이미지화하려는 노력이 있었다.^[32] 이미징이 전자빔을 사용하여 수행되었기 때문에, 종종 충격 매개변수 효과라고 불리는 쿨롱 빔-오비탈 상호작용이 결과에 포함된다(오른쪽 그림 참조).

p, d, f 오비탈의 모양은 여기서는 말로 설명하고 아래 오비탈 표에서 그림으로 보여준다. $n = 2$ 에 대한 세 개의 p 오비탈은 원자핵에서 접점을 가지는 두 개의 타원면 형태이다(두 개의 로브 모양은 때때로 "아령"이라고 불리며 두 개의 로브가 서로 반대 방향을 향한다). 각 전자 껍질의 세 개의 p 오비탈은 해당 $m ℓ$ 값의 선형 조합에 결정된 대로 서로 직각으로 방향을 잡는다. 전체 결과는 주축의 각 방향을 따라 향하는 로브이다.

$n = 3$ 에 대한 다섯 개의 d 오비탈 중 네 개는 비슷하게 생겼으며, 각각 네 개의 배 모양 로브를 가지고 있다. 각 로브는 다른 두 로브에 직각으로 접하고, 네 로브의 중심은 모두 한 평면에 놓여 있다. 이 평면 중 세 개는 xy-, xz-, yz-평면이며—로브는 주축 쌍 사이에 있다—네 번째는 x축과 y축 자체를 따라 중심이 있다. 다섯 번째이자 마지막 d 오비탈은 세 개의 높은 확률 밀도 영역으로 구성된다. 즉 z축을 따라 대칭적으로 배치된 두 개의 배 모양 영역 사이에 원환면이 있다. 전체 18개의 방향 로브는 모든 주축 방향과 모든 쌍 사이에 놓인다.

f 오비탈은 7개가 있으며, 각각 d 오비탈보다 더 복잡한 모양을 가지고 있다.

또한, s 오비탈의 경우와 마찬가지로 가장 낮은 가능한 값보다 높은 $n$ 값을 가진 개별 p, d, f, g 오비탈은 동일한 유형의 조화 파동을 연상시키는 추가적인 방사형 마디 구조를 보여준다. 이는 파동의 가장 낮은(또는 기본) 모드와 비교한 것이다. s 오비탈과 마찬가지로 이 현상은 다음으로 가능한 높은 $n$ 값(예: 3p 오비탈 대 기본 2p)에서 각 로브에 추가적인 마디를 가진 p, d, f, g 오비탈을 제공한다. 더욱 높은 $n$ 값은 각 유형의 오비탈에 대해 방사형 마디의 수를 더욱 증가시킨다.

단일 전자 원자의 원자 궤도 모양은 3차원 구면 조화 함수와 관련이 있다. 이 모양은 고유하지 않으며, 입방 조화 함수로의 변환과 같이 어떤 선형 결합도 유효하다. 실제로 모든 d 궤도가 $p x, p y,$ 및 $p z$ 와 동일한 모양처럼 동일한 모양을 가지는 세트를 생성하는 것이 가능하다.^[33]^[34]

개별 궤도는 종종 서로 독립적으로 표시되지만, 궤도는 핵 주위에 동시에 공존한다. 또한 1927년 알브레히트 운솔트는 특정 방위 양자수 $ℓ$ 을 가진 동일한 껍질 $n$ 의 모든 궤도(예: 모든 세 개의 2p 궤도 또는 모든 다섯 개의 3d 궤도)의 전자 밀도를 합산하면 각 궤도에 전자가 하나 또는 전자쌍이 차지하더라도 모든 각도 의존성이 사라진다는 것을 증명했다. 즉, 해당 하위 껍질(동일한 $ℓ$ 을 가진 궤도)의 모든 원자 궤도의 결과적인 총 밀도는 구형이다. 이것은 운솔트 정리로 알려져 있다.

오비탈 표

이 표는 7s까지의 모든 원자 오비탈에 대한 실제 수소형 파동 함수를 보여주며, 따라서 라듐까지의 주기율표의 모든 원소의 바닥 상태에서 채워진 오비탈을 포함한다. "ψ" 그래프는 − 및 + 파동 함수 위상을 두 가지 다른 색상(임의로 빨강과 파랑)으로 표시한다. $p z$ 오비탈은 $p 0$ 오비탈과 동일하지만, $p x$ 와 $p y$ 는 $p +1$ 과 $p -1$ 오비탈의 선형 결합을 통해 형성된다(그래서 $m = \pm1$ 레이블 아래에 나열된다). 또한 $p +1$ 과 $p -1$ 은 순수한 구면 조화 함수이므로 $p 0$ 와 동일한 모양이 아니다.

자세한 정보 s (ℓ = 0), p (ℓ = 1) ...

* 6f, 7d 또는 7f 전자를 가진 원소는 아직 발견되지 않았다.

† 7p 전자를 가진 원소는 발견되었지만, 그 전자 배열은 예상만 될 뿐이다. (예외적인 Lr은 6d¹ 대신 7p¹을 채운다.)

‡ 가장 높은 점유 오비탈이 6d 오비탈인 원소의 경우, 일부 전자 배열만 확인되었다. (Mt, Ds, Rg 및 Cn은 아직 정보가 부족하다.)

이들은 화학에서 일반적으로 사용되는 실수 값 궤도이다. $m=0$ 궤도만이 궤도 각운동량 연산자 ${\hat {L}}_{z}$ 의 고유 상태이다. $m=\pm 1,\pm 2,\cdots$ 열은 두 고유 상태의 조합이다. 다음 그림에서 비교를 참조하라.

모양에 대한 정성적 이해

원자 오비탈의 모양은 원형 드럼의 정상파와 유사한 경우를 고려하여 정성적으로 이해할 수 있다.^[35] 이 유사성을 보려면 드럼 막의 각 지점의 평균 진동 변위(해당 지점의 평균 드럼 막 속도 및 운동량 측정)가 드럼 헤드 중심으로부터의 거리에 비례하여 고려되어야 한다. 이 변위가 핵으로부터 주어진 거리에서 전자를 찾을 확률과 유사하다고 간주된다면 진동하는 원판의 여러 모드가 원자 오비탈의 다양한 모양을 추적하는 패턴을 형성한다는 것을 알 수 있다. 이러한 일치의 기본 이유는 물질파에서 운동 에너지 및 운동량의 분포가 파동과 관련된 입자가 어디에 있을지 예측하기 때문이다. 즉, 주어진 위치에서 전자를 찾을 확률은 해당 지점에서의 전자의 평균 운동량의 함수이기도 한다. 왜냐하면 주어진 위치에서 높은 전자 운동량은 전자 파동 다발의 특성(메커니즘에 대한 자세한 내용은 불확정성 원리 참조)을 통해 전자를 해당 위치에 "국소화"하는 경향이 있기 때문이다.

이러한 관계는 드럼 막 모드와 원자 궤도 모두에서 특정 핵심 특징을 관찰할 수 있음을 의미한다. 예를 들어 s 궤도와 유사한 모든 모드(아래 애니메이션 그림의 맨 위 줄)에서 드럼 막의 정중앙이 가장 강하게 진동하는 것을 볼 수 있는데, 이는 원자 내 모든 s 궤도의 반마디에 해당한다. 이 반마디는 전자가 핵의 물리적 위치에 있을 가능성이 가장 높다는 것을 의미한다(핵을 통과하지만 산란되거나 충돌하지 않음). 왜냐하면 이 지점에서 가장 빠르게(평균적으로) 움직여 최대 운동량을 가지기 때문이다.

모든 각운동량이 없는 s 궤도의 전자 행동에 가장 가까운 정신적 "행성 궤도" 그림은 아마도 이심률이 1인 케플러 궤도일 것이다. 그러나 유한한 장반경을 가진 이 궤도는 물리적으로 가능하지 않지만(입자가 충돌하기 때문), 동일한 장반경을 가지지만 이심률이 증가하는 궤도의 극한으로 상상할 수 있다.

아래에는 여러 드럼 막 진동 모드와 해당 수소 원자의 파동 함수가 나와 있다. 진동하는 드럼 헤드의 파동 함수는 2차원 좌표계 $ψ(r, θ)$ 에 대한 것이고, 진동하는 구의 파동 함수는 3차원 좌표계 $ψ(r, θ, φ)$ 에 대한 것으로 볼 수 있다.

s-형 드럼 모드와 파동 함수
드럼 모드 $u_{01}$
드럼 모드 $u_{02}$
드럼 모드 $u_{03}$
1s 궤도 파동 함수 (실수부, 2D 단면, $r_{\mathrm {max} }=2a_{0}$ )
2s 궤도 파동 함수 (실수부, 2D 단면, $r_{\mathrm {max} }=10a_{0}$ )
3s 궤도 파동 함수 (실수부, 2D 단면, $r_{\mathrm {max} }=20a_{0}$ )

드럼 막의 다른 모드 집합 중 어느 것도 중앙 반마디를 가지지 않으며, 모든 모드에서 드럼의 중심은 움직이지 않는다. 이는 원자의 모든 비-s 오비탈에 대한 핵에서의 마디에 해당한다. 이 오비탈들은 모두 어떤 각운동량을 가지며, 행성 모델에서는 이심률이 1.0 미만인 궤도를 가진 입자에 해당하므로 주체의 중심을 직접 통과하지 않고 어느 정도 거리를 유지한다.

또한, 원자의 p 및 d 모드에 해당하는 드럼 모드는 드럼 중심으로부터 다른 방사형 방향을 따라 공간적 불규칙성을 보이는 반면, s 모드에 해당하는 모든 모드는 방사형 방향에서 완벽하게 대칭적이다. 비-s 오비탈의 비방사형 대칭 특성은 각운동량과 파동 특성을 가진 입자를 중심 인력으로부터 멀리 떨어져 있어야 하는 오비탈에 국소화하는 데 필요하다. 왜냐하면 중심 인력 지점에 국소화된 입자는 각운동량을 가질 수 없기 때문이다. 이러한 모드의 경우, 드럼 헤드의 파동은 중심 지점을 피하는 경향이 있다. 이러한 특징들은 원자 오비탈의 모양이 전자의 파동 특성의 직접적인 결과임을 다시 한번 강조한다.

p-형 드럼 모드와 파동 함수
드럼 모드 $u_{11}$
드럼 모드 $u_{12}$
드럼 모드 $u_{13}$
2p 오비탈 파동 함수 (실수부, 2D 단면, $r_{\mathrm {max} }=10a_{0}$ )
3p 오비탈 파동 함수 (실수부, 2D 단면, $r_{\mathrm {max} }=20a_{0}$ )
4p 오비탈 파동 함수 (실수부, 2D 단면, $r_{\mathrm {max} }=25a_{0}$ )

d-형 드럼 모드
드럼 모드 $u_{21}$
드럼 모드 $u_{22}$
드럼 모드 $u_{23}$

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오비탈 에너지

요약

관점

하나의 전자(수소형 원자)를 가진 원자에서 궤도의 에너지(그리고 결과적으로 궤도 내 전자의 에너지)는 주로 $n$ 에 따라 결정된다. $n=1$ 궤도는 원자에서 가능한 가장 낮은 에너지를 가진다. 각각 연속적으로 높은 $n$ 값은 더 높은 에너지를 가지지만, $n$ 이 증가함에 따라 차이는 감소한다. 높은 $n$ 값에서는 에너지가 너무 높아져 전자가 원자를 쉽게 벗어날 수 있다. 단일 전자 원자에서는 주어진 $n$ 내에서 다른 $\ell$ 값을 가진 모든 준위는 슈뢰딩거 근사에서 퇴화되어 동일한 에너지를 가진다. 이 근사는 디랙 방정식의 해(에너지가 $n$ 및 다른 양자수 $j$ 에 의존하는 경우) 및 핵의 자기장 효과와 양자 전기역학 효과에 의해 약간 깨진다. 후자는 특히 핵에 더 가까이 가는 s 전자들의 경우 작은 결합 에너지 차이를 유발한다. 왜냐하면 이 전자들은 단일 전자 원자에서도 매우 약간 다른 핵 전하를 느끼기 때문이다. 램 이동을 참조하라.

다전자 원자에서 전자의 에너지는 그 궤도뿐만 아니라 다른 전자와의 상호작용에도 의존한다. 이러한 상호작용은 공간 확률 분포의 세부 사항에 따라 달라지므로, 궤도의 에너지 준위는 $n$ 뿐만 아니라 $\ell$ 에도 의존한다. $\ell$ 값이 높을수록 에너지 값도 높아진다. 예를 들어, 2p 상태는 2s 상태보다 에너지가 높다. $\ell =2$ 일 때, 궤도의 에너지 증가는 너무 커져서 궤도의 에너지가 다음 상위 껍질의 s 궤도 에너지 위로 밀려난다. $\ell =3$ 일 때 에너지는 두 단계 더 높은 껍질로 밀려난다. 3d 궤도는 4s 궤도가 채워질 때까지 채워지지 않으며, 4f 궤도는 6s 궤도가 채워질 때까지 완전히 채워지지 않는다. (원소의 전자 배열 (데이터 페이지) 참조).

더 큰 원자에서 각운동량이 증가함에 따라 하위 껍질의 에너지가 증가하는 것은 전자-전자 상호작용 효과 때문이며, 특히 낮은 각운동량 전자가 핵을 향해 더 효과적으로 침투하여 중간 전자들의 전하로부터 가려막기가 덜 받는 능력과 관련이 있다. 따라서 원자 번호가 높은 원자에서는 전자의 $\ell$ 이 에너지 결정 요인으로서 점점 더 중요해지고, 전자의 주양자수 $n$ 은 에너지 배치에서 중요성이 점점 줄어든다.

첫 35개의 하위 껍질(예: 1s, 2p, 3d 등)의 에너지 순서는 다음 표에 나와 있다. 각 셀은 해당 행과 열 인덱스로 주어진 $n$ 과 $\ell$ 을 가진 하위 껍질을 나타낸다. 셀 안의 숫자는 시퀀스에서 해당 하위 껍질의 위치이다. 다전자 원자에서 에너지 증가 순서에 따른 하위 껍질의 선형 목록은 아래 섹션을 참조하라.

자세한 정보 ln, s ...

l n	s	p	d	f	g	h
1	1
2	2	3
3	4	5	7
4	6	8	10	13
5	9	11	14	17	21
6	12	15	18	22	26	31
7	16	19	23	27	32	37
8	20	24	28	33	38	44
9	25	29	34	39	45	51
10	30	35	40	46	52	59

참고: 빈 칸은 존재하지 않는 하위 준위를 나타내며, 이탤릭체 숫자는 (잠재적으로) 존재할 수 있지만 현재 알려진 어떤 원소에도 전자를 보유하지 않는 하위 준위를 나타낸다.

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전자 배치와 주기율표

요약

관점

원자 오비탈과 주기율표 구성

여러 규칙이 궤도 내 전자 배치(전자 배열)를 지배한다. 첫 번째 규칙은 한 원자 내 두 전자가 동일한 양자수 값 집합을 가질 수 없다는 것이다(이는 파울리 배타 원리이다). 이 양자수에는 궤도를 정의하는 세 가지 양자수와 스핀 자기 양자수 $m s$ 가 포함된다. 따라서 두 전자는 서로 다른 $m s$ 값을 가지는 한, 하나의 궤도를 차지할 수 있다. $m s$ 는 두 가지 값(⁠1/2⁠ 또는 −⁠1/2⁠) 중 하나만 가지므로, 각 궤도에는 최대 두 개의 전자가 차지할 수 있다.

또한, 전자는 항상 가능한 가장 낮은 에너지 상태로 떨어지는 경향이 있다. 파울리 배타 원리를 위반하지 않는 한 어떤 궤도에도 존재할 수 있지 더 낮은 에너지 궤도가 가능하다면 이 상태는 불안정하다. 전자는 결국 에너지를 잃고(광자를 방출하여) 더 낮은 궤도로 떨어진다. 따라서 전자는 위에서 주어진 에너지 순서에 따라 궤도를 채운다.

이러한 행동은 주기율표의 구조를 담당한다. 주기율표는 여러 행('주기'라고 불림)으로 나뉘며, 위쪽에서 1부터 시작하여 번호가 매겨진다. 현재 알려진 원소는 총 7개의 주기를 차지한다. 특정 주기의 번호가 i이면, 그 주기는 가장 바깥쪽 전자가 i번째 껍질에 속하는 원소들로 구성된다. 닐스 보어는 1923년에 원소의 특성에서 나타나는 주기성이 전자의 에너지 준위가 주기적으로 채워짐으로써 설명될 수 있으며, 이는 원자의 전자 구조로 이어진다고 처음 제안했다.^[36]

또한 주기율표는 여러 개의 번호가 매겨진 직사각형 '구역'으로 나눌 수도 있다. 주어진 블록에 속하는 원소는 이러한 공통적인 특징을 가진다, 그들의 가장 높은 에너지 전자는 모두 동일한 $ℓ$ -상태에 속한다(그러나 그 $ℓ$ -상태와 관련된 $n$ 은 주기에 따라 달라진다). 예를 들어, 가장 왼쪽 두 열은 's-구역'을 구성한다. Li과 Be의 가장 바깥쪽 전자들은 각각 2s 하위 껍질에 속하며, Na와 Mg의 전자는 3s 하위 껍질에 속한다.

다음은 "부껍질" 궤도를 채우는 순서이며, 주기율표의 "구역" 순서도 제공한다.

1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p

궤도 채움의 "주기성"과 s, p, d, f "구역"의 출현은 이 채움 순서가 행렬 형태로 주어졌을 때 더욱 분명해진다. 여기서 증가하는 주양자수는 매트릭스의 새로운 행("주기")을 시작한다. 그런 다음 각 하위 껍질(첫 두 양자수로 구성됨)은 각 전자쌍이 포함할 수 있는 만큼 여러 번 반복된다. 그 결과는 압축된 주기율표이며, 각 항목은 두 개의 연속적인 원소를 나타낸다.

1s
2s													2p	2p	2p
3s													3p	3p	3p
4s								3d	3d	3d	3d	3d	4p	4p	4p
5s								4d	4d	4d	4d	4d	5p	5p	5p
6s	4f	4f	4f	4f	4f	4f	4f	5d	5d	5d	5d	5d	6p	6p	6p
7s	5f	5f	5f	5f	5f	5f	5f	6d	6d	6d	6d	6d	7p	7p	7p

이는 마델룽 규칙에 따른 일반적인 궤도 채움 순서이지만, 예외도 있으며 각 원소의 실제 전자 에너지는 원자의 추가적인 세부 사항에 따라 달라진다(참조: 전자 배열 § 원자: 쌓음 원리 및 마델룽 규칙).

전기적으로 중성인 원자 내 전자의 수는 원자 번호에 따라 증가한다. 가장 바깥쪽 껍질의 전자, 즉 원자가 전자는 원소의 화학적 행동을 결정하는 경향이 있다. 동일한 수의 원자가 전자를 포함하는 원소들은 함께 묶여 유사한 화학적 특성을 나타낸다.

상대론적 효과

원자 번호 $Z$ 가 높은 원소의 경우 상대론적 효과가 더욱 두드러지며, 특히 고 $Z$ 원자의 핵 근처에서 차폐 전자를 통과할 때 상대론적 속도로 움직이는 s 전자에 대해 더욱 그렇다. 고속 전자의 운동량에서 이러한 상대론적 증가는 파장의 감소와 5d 궤도에 대한 6s 궤도의 수축(주기율표의 동일한 열에 있는 더 가벼운 원소의 해당 s 및 d 전자와 비교하여)을 유발하며, 이는 6s 원자가 전자의 에너지를 낮추는 결과를 초래한다.

이러한 효과의 중요한 물리적 결과의 예로는 수은의 낮은 녹는점(이는 금속 결합에 6s 전자가 사용될 수 없기 때문)과 금과 세슘의 황금색이 있다.^[37]

보어 모형에서 $n = 1$ 전자는 $v = Zαc$ 로 주어지는 속도를 가지며, 여기서 $Z$ 는 원자 번호, $α$ 는 미세 구조 상수, $c$ 는 빛의 속도이다. 따라서 비상대론적 양자역학에서는 원자 번호가 137번보다 큰 모든 원자는 1s 전자가 빛의 속도보다 빠르게 움직여야 한다. 상대론적 효과를 설명하는 디랙 방정식에서도 $Z$ > 137인 원자의 전자 파동 함수는 진동하고 무한하다. 원소 137번, 즉 운트리셉튬의 중요성은 물리학자 리처드 파인만이 처음 지적했다. 원소 137번은 때때로 비공식적으로 파인마늄 (기호 Fy)이라고 불린다.^[38] 그러나 파인만의 근사는 핵의 비점 전하적 특성과 내부 전자의 매우 작은 궤도 반지름으로 인해 내부 전자가 느끼는 잠재력이 효과적으로 $Z$ 보다 작아지므로 정확한 임계 $Z$ 값을 예측하지 못한다. 진공의 고자기장 붕괴와 전자-양전자 쌍 생성에 대해 원자를 불안정하게 만드는 임계 $Z$ 값은 $Z$ 가 약 173이 될 때까지 발생하지 않는다. 이러한 조건은 가속기에서 납이나 우라늄과 같은 매우 무거운 핵의 충돌에서 일시적으로만 관찰되며, 이러한 효과로 인한 전자-양전자 생성이 관찰되었다고 주장된 바 있다.

상대론적 궤도 밀도에는 마디가 없지만, 파동 함수의 개별 구성 요소에는 마디가 존재한다.^[39]

pp 혼성 (추정)

8주기 후기 원소에서는 8p_3/2와 9p_1/2의 혼성이 존재할 것으로 예상된다.^[40] 여기서 "3/2"와 "1/2"는 총 각운동량 양자수를 나타낸다. 이 "pp" 혼성은 일반적인 원자가 전자 껍질의 p 아껍질과 유사한 특성 때문에 해당 주기의 p-구역을 담당할 수 있다. 8p_3/2와 9p_1/2의 에너지 준위는 상대론적 스핀-궤도 상호작용 효과로 인해 가까워지며, 이 원소들이 각각 5p 원소인 인듐부터 제논과 유사할 것으로 예상되므로 9s 하위 껍질도 참여해야 한다.

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오비탈 간의 전이

결합된 양자 상태는 이산적인 에너지 준위를 가진다. 원자 궤도에 적용하면, 이는 상태 간의 에너지 차이도 이산적이라는 것을 의미한다. 따라서 이러한 상태 간의 전이(즉, 전자가 광자를 흡수하거나 방출하는 것)는 광자가 해당 상태 간의 정확한 에너지 차이에 해당하는 에너지를 가질 때만 일어날 수 있다.

수소 원자의 두 가지 상태를 고려해보자.

상태 $n = 1$ , $ℓ = 0$ , $m ℓ = 0$ 및 $m s = + ⁠ 1 / 2 ⁠$
상태 $n = 2$ , $ℓ = 0$ , $m ℓ = 0$ 및 $m s = - ⁠ 1 / 2 ⁠$

양자 이론에 따르면, 상태 1은 $E 1$ 의 고정된 에너지를 가지며, 상태 2는 $E 2$ 의 고정된 에너지를 가진다. 이제 상태 1에 있는 전자가 상태 2로 이동한다면 어떻게 될까? 이러한 일이 일어나려면 전자가 정확히 $E 2 - E 1$ 의 에너지를 얻어야 한다. 만약 전자가 이 값보다 작거나 큰 에너지를 받는다면, 상태 1에서 상태 2로 점프할 수 없다. 이제 원자에 넓은 스펙트럼의 빛을 비춘다고 가정해보자. 정확히 $E 2 - E 1$ 의 에너지를 가진 광자는 상태 1에 있는 전자에 흡수될 것이고, 그 전자는 상태 2로 점프할 것이다. 그러나 에너지가 더 크거나 작은 광자는 전자에 흡수될 수 없다. 왜냐하면 전자는 궤도 중 하나로만 점프할 수 있으며, 궤도 사이의 상태로는 점프할 수 없기 때문이다. 그 결과, 특정 주파수의 광자만 원자에 흡수될 것이다. 이는 스펙트럼에 흡수선을 생성하며, 이는 상태 1과 2 사이의 에너지 차이에 해당한다.

원자 궤도 모델은 따라서 선 스펙트럼을 예측하며, 이는 실험적으로 관찰된다. 이것은 원자 궤도 모델의 주요 검증 중 하나이다.

그럼에도 불구하고 원자 궤도 모델은 다전자 상태만을 인식하는 완전한 양자 이론에 대한 근사치이다. 선 스펙트럼의 예측은 질적으로 유용하지만, 단일 전자를 포함하는 원자와 이온 외에는 양적으로 정확하지 않다.

같이 보기

원자 전자 배치표
응집물질물리학
전자 배열
에너지 준위
훈트 규칙
분자 궤도 함수
궤도겹침행렬
양자화학
양자화학 컴퓨터 프로그램
고체물리학
파동 함수 붕괴
위스웨서 규칙

각주

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참고 문헌

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외부 링크

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	s ( $ℓ = 0$ )	p ( $ℓ = 1$ )			d ( $ℓ = 2$ )					f ( $ℓ = 3$ )
	$m = 0$	$m = 0$	$m = \pm1$		$m = 0$	$m = \pm1$		$m = \pm2$		$m = 0$	$m = \pm1$		$m = \pm2$		$m = \pm3$
	s	p_z	p_x	p_y	d_z²	d_xz	d_yz	d_xy	d_x²−y²	f_z³	f_xz²	f_yz²	f_xyz	f_z(x²−y²)	f_{x(x²−3y^2)}	f_{y(3x^2−y^2)}
$n = 1$
$n = 2$
$n = 3$
$n = 4$
$n = 5$										. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
$n = 6$					. . . ‡	. . . ‡	. . . ‡	. . . ‡	. . . ‡	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *
$n = 7$		. . . †	. . . †	. . . †	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *	. . . *