고전적 수반 행렬

선형대수학에서 고전적 수반 행렬(古典的隨伴行列, 영어: adjugate, classical adjoint)은 여인자 행렬의 전치 행렬이다.^[1] 기호는 ${\displaystyle \operatorname {adj} }$.

정의

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;R)}$의 고전적 수반 행렬은 여인자 행렬의 전치 행렬이다.

${\displaystyle \operatorname {adj} M=\mathrm {C} (M)^{\top }\in \operatorname {Mat} (n;R)}$

즉, ${\displaystyle \operatorname {adj} M}$의 ${\displaystyle (i,j)}$-성분은 ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle j}$번째 행 및 ${\displaystyle i}$번째 열을 지운 여인자이다.

${\displaystyle (\operatorname {adj} M)_{ij}=\mathrm {C} (M)_{ji}=(-1)^{i+j}\det(M_{\{1,\dots ,n\}\setminus \{j\},\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\}})}$

여기서 ${\displaystyle \det }$는 행렬식이다.

성질

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;R)}$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.^[1]

${\displaystyle M\operatorname {adj} M=(\operatorname {adj} M)M=(\det M)1_{n\times n}}$

특히, 만약 ${\displaystyle \det M\in R}$가 가역원이라면 (${\displaystyle R}$가 체인 경우 이는 ${\displaystyle \det M\neq 0}$이라는 조건과 같다), ${\displaystyle M}$의 역행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle M^{-1}=(\det M)^{-1}\operatorname {adj} M}$

그 밖에 다음 항등식들이 성립한다.

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} M)=(\det M)^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (M^{\top })=\operatorname {adj} M}$

예제

1 × 1 일반 행렬

0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은 ${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$이고, adj(0) = 0으로 정의한다.

2 × 2 일반 행렬

2×2 행렬

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

의 수반행렬은

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.}$

이고, 직접 대입으로 다음을 보일 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .}$

이 경우에는 det(adj(A)) = det(A)이 성립하고, 결국 adj(adj(A)) = A이다.

3 × 3 일반 행렬

다음 3×3 행렬은

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}.}$

다음과 같이 여인자_행렬을 구하고

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},}$

여기서

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}.}$

수반행렬은 이 여인자행렬의 전치 행렬로 다음과 같이 구해진다.

${\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

3 × 3 행렬 수치 계산 예

다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다.

${\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.}$

이 수반행렬이 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 −6을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

수반행렬의 두번째 행 세번째 열에 −1은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행,3열)값은 여인자행렬의 (3행,2열)값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 부분_행렬,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.}$

과 (3행,2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다.

${\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,}$

그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은 −1이다.

같이 보기

• 케일리-해밀턴 정리
• 크라메르 법칙