반경험적 질량 공식

핵물리학에서 반경험적 질량 공식(영어: Semi-empirical mass formula, SEMF; 베테-바이츠제커 과정과 구별하기 위해 바이츠제커 공식(영어: Weizsäcker formula), 베테-바이츠제커 공식(영어: Bethe–Weizsäcker formula), 또는 베테-바이츠제커 질량 공식(영어: Bethe–Weizsäcker mass formula)이라고도 함)은 원자핵의 질량을 양성자와 중성자 수로부터 근사하는 데 사용된다. 이름에서 알 수 있듯이, 이 공식은 부분적으로 과학 이론에 기반하고 부분적으로 경험적 증거에 기반한다. 이 공식은 조지 가모프가 제안한 물방울 모형(영어: liquid-drop model)을 나타내며,^[1] 이는 공식의 대부분의 항을 설명하고 계수의 값에 대한 대략적인 추정치를 제공할 수 있다. 이 공식은 1935년 독일 물리학자 카를 프리드리히 폰 바이츠제커에 의해 처음으로 공식화되었으며,^[2] 수년에 걸쳐 계수가 개선되었지만 공식의 구조는 오늘날까지 동일하게 유지되고 있다.

이 공식은 원자 질량과 그 외 다른 효과에 대해 좋은 근사치를 제공한다. 그러나 특정 양성자 및 중성자 수에서 더 큰 결합 에너지 선의 존재를 설명하는 데는 실패했다. 이 숫자들은 마법수로 알려져 있으며 핵 껍질 모형의 기초이다.

물방울 모형

원자핵의 물방울 모형에서 반경험적 질량 공식의 항에 대한 그림

물방울 모형은 조지 가모프에 의해 처음 제안되었고 닐스 보어, 존 아치볼드 휠러 및 리제 마이트너에 의해 추가로 개발되었다.^[3] 이 모형은 핵을 핵력(강한 핵력의 잔류 효과)에 의해 함께 묶여 있는 매우 높은 밀도의 비압축성 유체 방울로 취급한다. 이는 구형 물방울의 구조와 유사하다. 비록 조악한 모형이지만 물방울 모형은 대부분의 핵의 구형 모양을 설명하고 결합 에너지에 대한 대략적인 예측을 했다.

해당 질량 공식은 포함된 양성자 및 중성자 수로만 정의된다. 원래의 바이츠제커 공식은 다섯 가지 항을 정의한다.

• 부피 에너지: 동일한 크기의 핵자 집합이 가장 작은 부피로 함께 묶일 때, 각 내부 핵자는 특정 수의 다른 핵자와 접촉한다. 따라서 이 핵 에너지는 부피에 비례한다.
• 표면 에너지: 모든 핵자가 동일한 수의 다른 핵자와 상호 작용한다는 이전 가정을 보정한다. 이 항은 음수이며 표면적에 비례하므로 대략 액체 표면장력과 동등하다.
• 쿨롱 에너지: 각 양성자 쌍에서 오는 위치 에너지. 이것은 반발력이므로 결합 에너지가 감소한다.
• 비대칭 에너지(또는 파울리 에너지): 파울리 배타 원리를 설명한다. 중성자와 양성자의 수가 불균등하면 한 유형의 입자에 대해 더 높은 에너지 준위를 채우는 반면 다른 유형의 입자에 대해 더 낮은 에너지 준위를 비워둔다.
• 짝지음 에너지: 양성자 쌍과 중성자 쌍이 발생하는 경향을 설명한다. 스핀 결합으로 인해 짝수 개의 입자가 홀수 개의 입자보다 더 안정적이다.

공식

반경험적 질량 공식으로 주어진 중성자 수 N과 원자 번호 Z의 함수로 표시된 핵자당 결합 에너지(MeV)이다. 실험으로 발견된 핵종을 나타내기 위해 파선이 포함되어 있다.

예측된 에너지와 알려진 결합 에너지 간의 차이를 킬로전자볼트 단위로 나타낸다. 존재하는 현상은 추가적인 미묘한 항으로 설명될 수 있지만, 질량 공식은 등고선에서 뚜렷한 피크로 식별할 수 있는 선의 존재를 설명할 수 없다.

${\displaystyle N}$개의 중성자, ${\displaystyle Z}$개의 양성자 그리고 따라서 ${\displaystyle A=N+Z}$개의 핵자에 대한 원자핵의 질량은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle m=Nm_{\text{n}}+Zm_{\text{p}}-{\frac {E_{\text{B}}(N,Z)}{c^{2}}},}$

여기서 ${\displaystyle m_{\text{n}}}$과 ${\displaystyle m_{\text{p}}}$는 각각 중성자와 양성자의 정지 질량이고, ${\displaystyle E_{\text{B}}}$는 핵의 결합 에너지이다. 반경험적 질량 공식은 결합 에너지가 다음과 같다고 말한다.^[4]

${\displaystyle E_{\text{B}}=a_{\text{V}}A-a_{\text{S}}A^{2/3}-a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}-a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}\pm \delta (N,Z).}$

${\displaystyle \delta (N,Z)}$ 항은 ${\displaystyle N}$과 ${\displaystyle Z}$의 패리티에 따라 0 또는 ${\displaystyle \pm \delta _{0}}$이다. 여기서 ${\displaystyle \delta _{0}={a_{\text{P}}}{A^{k_{\text{P}}}}}$는 어떤 지수 ${\displaystyle k_{\text{P}}}$에 해당한다. ${\displaystyle A=N+Z}$이므로 ${\displaystyle a_{\text{A}}}$ 항의 분자는 ${\displaystyle (A-2Z)^{2}}$로 다시 쓸 수 있다는 점에 유의한다.

이 공식의 각 항은 이론적인 근거를 가지고 있다. 계수 ${\displaystyle a_{\text{V}}}$, ${\displaystyle a_{\text{S}}}$, ${\displaystyle a_{\text{C}}}$, ${\displaystyle a_{\text{A}}}$, ${\displaystyle a_{\text{P}}}$는 경험적으로 결정된다. 실험에서 유도될 수도 있지만, 일반적으로 최신 데이터에 대한 최소제곱 적합을 통해 유도된다. 일반적으로 기본적인 다섯 가지 항으로 표현되지만, 추가적인 현상을 설명하기 위한 더 많은 항이 존재한다. 다항식 적합을 변경하면 계수가 변경되는 방식과 유사하게, 새로운 현상이 도입될 때 이러한 계수들 간의 상호 작용은 복잡하다. 일부 항들은 서로에게 영향을 미치지만, ${\displaystyle a_{\text{P}}}$ 항은 대체로 독립적이다.^[5]

부피 항

항 ${\displaystyle a_{\text{V}}A}$는 부피 항으로 알려져 있다. 핵의 부피는 A에 비례하므로 이 항은 부피에 비례하며, 따라서 이러한 이름이 붙었다.

이 항의 근거는 강한 상호작용이다. 강한 상호작용은 양성자와 중성자 모두에 영향을 미치며, 예상대로 이 항은 Z에 독립적이다. A개의 입자에서 취할 수 있는 쌍의 수는 ${\displaystyle A(A-1)/2}$이므로 ${\displaystyle A^{2}}$에 비례하는 항을 예상할 수 있다. 그러나 강한 상호작용은 매우 제한된 범위에서 작용하며, 주어진 핵자는 가장 가까운 이웃 및 그 다음 이웃과만 강하게 상호작용할 수 있다. 따라서 실제로 상호작용하는 입자 쌍의 수는 A에 대략 비례하여 부피 항의 형태를 제공한다.

계수 ${\displaystyle a_{\text{V}}}$는 핵자들이 이웃에 대해 가지는 결합 에너지(${\displaystyle E_{\text{b}}}$)보다 작으며, 이는 약 40 MeV 정도이다. 이는 핵 안에 있는 핵자의 수가 많을수록 파울리 배타 원리로 인해 운동 에너지가 커지기 때문이다. 핵을 양성자와 중성자의 수가 동일한 ${\displaystyle A}$개의 핵자로 이루어진 페르미 볼로 취급하면, 총 운동 에너지는 ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}}$이며, 여기서 ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$는 페르미 에너지이고, 이는 38 MeV로 추정된다. 따라서 이 모형에서 ${\displaystyle a_{\text{V}}}$의 예상 값은 ${\displaystyle E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,}$이며, 측정값과 크게 다르지 않다.

표면 항

항 ${\displaystyle a_{\text{S}}A^{2/3}}$는 표면 항으로 알려져 있다. 이 항은 또한 강한 상호작용에 기반하며, 부피 항에 대한 보정이다.

부피 항은 각 핵자가 A와 무관하게 일정한 수의 핵자와 상호작용한다고 제안한다. 이는 핵 깊숙이 있는 핵자에게는 거의 사실이지만, 핵 표면에 있는 핵자들은 더 적은 수의 최근접 이웃을 가지므로 이 보정이 정당화된다. 이는 표면 장력 항으로도 생각될 수 있으며, 실제로 액체에서 유사한 메커니즘이 표면장력을 생성한다.

핵의 부피가 A에 비례한다면, 반지름은 ${\displaystyle A^{1/3}}$에 비례해야 하고 표면적은 ${\displaystyle A^{2/3}}$에 비례해야 한다. 이는 표면 항이 ${\displaystyle A^{2/3}}$에 비례하는 이유를 설명한다. 또한 ${\displaystyle a_{\text{S}}}$가 ${\displaystyle a_{\text{V}}}$와 유사한 크기를 가져야 함을 추론할 수 있다.

쿨롱 항

항 ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$ 또는 ${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$는 쿨롱 항 또는 정전기 항으로 알려져 있다.

이 항의 근거는 양성자 사이의 정전기적 반발력이다. 매우 대략적인 근사치로, 핵은 균일한 전하 밀도를 가진 구로 간주할 수 있다. 이러한 전하 분포의 위치 에너지는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},}$

여기서 Q는 총 전하이고 R은 구의 반지름이다. ${\displaystyle a_{\text{C}}}$의 값은 이 방정식을 사용하여 위치 에너지를 계산하고, ${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$의 경험적 핵 반지름과 Q = Ze를 사용하여 대략적으로 계산할 수 있다. 그러나 정전기적 반발은 양성자가 두 개 이상일 때만 존재하므로, ${\displaystyle Z^{2}}$은 ${\displaystyle Z(Z-1)}$이 된다.

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},}$

여기서 정전기 쿨롱 상수 ${\displaystyle a_{\text{C}}}$는

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.}$

미세 구조 상수를 사용하면 ${\displaystyle a_{\text{C}}}$의 값을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},}$

여기서 ${\displaystyle \alpha }$는 미세 구조 상수이고, ${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$은 핵의 반지름이며, ${\displaystyle r_{0}}$는 약 1.25 펨토미터이다. ${\displaystyle R_{\text{P}}}$는 양성자의 환산 콤프턴 파장이고, ${\displaystyle m_{\text{p}}}$는 양성자 질량이다. 이것은 ${\displaystyle a_{\text{C}}}$에 대해 약 0.691 MeV의 근사적인 이론적 값을 제공하며, 측정값과 크게 다르지 않다.

비대칭 항

비대칭 항의 근거에 대한 그림

항 ${\displaystyle a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$는 비대칭 항(또는 파울리 항)으로 알려져 있다.

이 항에 대한 이론적 근거는 더 복잡하다. 파울리 배타 원리는 어떤 두 동일한 페르미온도 원자에서 정확히 동일한 양자 상태를 차지할 수 없다고 명시한다. 주어진 에너지 준위에서 입자에 사용할 수 있는 양자 상태는 유한하다. 이것이 핵에서 의미하는 바는 더 많은 입자가 "추가"될수록 이 입자들은 더 높은 에너지 준위를 차지해야 하며, 이는 핵의 총 에너지를 증가시키고 결합 에너지를 감소시킨다는 것이다. 이 효과는 어떠한 기본 힘(중력, 전자기력 등)에도 기반하지 않고 오직 파울리 배타 원리에만 기반한다.

양성자와 중성자는 서로 다른 종류의 입자이므로 다른 양자 상태를 차지한다. 양성자를 위한 "풀"과 중성자를 위한 "풀"이라는 두 가지 다른 "풀"의 상태를 생각할 수 있다. 예를 들어, 핵에 양성자보다 중성자가 현저히 많으면, 일부 중성자는 양성자 풀에서 사용 가능한 상태보다 더 높은 에너지에 있을 것이다. 만약 중성자 풀에서 양성자 풀로 일부 입자를 이동시킬 수 있다면, 즉 일부 중성자를 양성자로 바꿀 수 있다면, 에너지를 현저히 감소시킬 수 있을 것이다. 양성자와 중성자의 수 사이의 불균형은 주어진 핵자 수에 대해 에너지를 필요 이상으로 높게 만든다. 이것이 비대칭 항의 근거이다.

비대칭 항의 실제 형태는 핵을 양성자와 중성자로 구성된 페르미 볼로 모델링하여 다시 유도할 수 있다. 총 운동 에너지는

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),}$

여기서 ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,p}}}$와 ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,n}}}$은 양성자와 중성자의 페르미 에너지이다. 이들은 각각 ${\displaystyle Z^{2/3}}$와 ${\displaystyle N^{2/3}}$에 비례하므로,

${\displaystyle E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$ (C는 상수)가 된다.

차이 ${\displaystyle N-Z}$에 대한 전개의 주요 항은 다음과 같다.

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

전개에서 영차 항에서 운동 에너지는 전체 페르미 에너지 ${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}}$에 ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A}$를 곱한 값이다. 따라서

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

첫 번째 항은 반경험적 질량 공식의 부피 항에 기여하고, 두 번째 항은 비대칭 항의 음수이다(운동 에너지는 총 결합 에너지에 음수 부호로 기여한다는 점을 기억한다).

${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$는 38 MeV이므로 위 방정식에서 ${\displaystyle a_{\text{A}}}$를 계산하면 측정값의 절반만 얻게 된다. 이 불일치는 우리의 모델이 정확하지 않다는 사실로 설명된다. 핵자는 실제로 서로 상호 작용하며 핵 전체에 고르게 퍼져 있지 않다. 예를 들어, 껍질 모형에서, 겹치는 파동 함수를 가진 양성자와 중성자는 서로 더 큰 강한 상호작용과 더 강한 결합 에너지를 가질 것이다. 이는 양성자와 중성자가 동일한 양자수(아이소스핀 제외)를 갖는 것이 에너지적으로 유리하며(즉, 에너지가 더 낮음), 따라서 그들 사이의 비대칭으로 인한 에너지 비용을 증가시킨다.

비대칭 항은 직관적으로 다음과 같이 이해할 수도 있다. 이는 절대 차이 ${\displaystyle |N-Z|}$에 의존해야 하며, ${\displaystyle (N-Z)^{2}}$ 형태는 간단하고 미분 가능하며, 이는 공식의 특정 응용에 중요하다. 또한, Z와 N 사이의 작은 차이는 높은 에너지 비용을 초래하지 않는다. 분모의 A는 주어진 차이 ${\displaystyle |N-Z|}$가 A 값이 클수록 덜 중요하다는 사실을 반영한다.

짝지음 항

질량수의 함수로 표시된 짝수-짝수 핵과 홀수-홀수 핵의 총 결합 에너지에서 짝지음 항의 크기. 두 가지 적합(파란색 및 빨간색 선)이 표시되어 있다. 짝지음 항(짝수-짝수 핵의 경우 양수, 홀수-홀수 핵의 경우 음수)은 결합 에너지 데이터에서 파생되었다.^[6]

항 ${\displaystyle \delta (A,Z)}$는 짝지음 항(쌍별 상호작용이라고도 불릴 수 있음)으로 알려져 있다. 이 항은 스핀 결합의 효과를 포착한다. 이것은 다음과 같이 주어진다.^[7]

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle \delta _{0}}$는 경험적으로 약 1000 keV의 값을 가지며, 질량수 A에 따라 서서히 감소하는 것으로 밝혀졌다. 홀수-홀수 핵은 중성자를 양성자로 또는 그 반대로 바꾸어 인접한 짝수-짝수 핵으로 베타 붕괴하는 경향이 있다. 쌍은 겹치는 파동 함수를 가지며 다른 어떤 구성보다 더 강한 결합을 가지고 매우 가깝게 위치한다.^[7] 짝지음 항이 결합 에너지 방정식에 대입될 때, 짝수 Z, N의 경우 짝지음 항은 결합 에너지를 추가하고, 홀수 Z, N의 경우 짝지음 항은 결합 에너지를 제거한다.

질량수에 대한 의존성은 일반적으로 다음과 같이 매개변수화된다.

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.}$

지수 k_P의 값은 실험적인 결합 에너지 데이터로부터 결정된다. 과거에는 그 값이 종종 −3/4로 가정되었지만, 현대의 실험 데이터는 −1/2 값이 더 정확하다는 것을 나타낸다.

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}}$ 또는 ${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.}$

파울리 배타 원리 때문에, 핵은 스핀 업 양성자의 수가 스핀 다운 양성자의 수와 같으면 더 낮은 에너지를 가질 것이다. 이것은 중성자에도 마찬가지로 적용된다. Z와 N이 모두 짝수일 때만 양성자와 중성자 모두 스핀 업 및 스핀 다운 입자의 수가 같을 수 있다. 이것은 비대칭 항과 유사한 효과이다.

${\displaystyle A^{k_{\text{P}}}}$ 인자는 이론적으로 쉽게 설명되지 않는다. 위에서 사용한 물방울 모형에 기반하지만 상호 작용을 무시한 페르미 볼 계산은 비대칭 항과 같이 ${\displaystyle A^{-1}}$ 의존성을 제공할 것이다. 이는 큰 핵에 대한 실제 효과가 해당 모델에서 예상한 것보다 클 것임을 의미한다. 이것은 핵자 간의 상호 작용으로 설명되어야 한다. 예를 들어, 껍질 모형에서, 동일한 양자수(스핀 제외)를 가진 두 양성자는 완전히 겹치는 파동 함수를 가지며, 따라서 그들 사이에 더 큰 강한 상호작용과 더 강한 결합 에너지를 가질 것이다. 이는 양성자가 반대 스핀 쌍을 형성하는 것이 에너지적으로 유리하다(즉, 에너지가 더 낮음)는 것을 의미한다. 중성자도 마찬가지이다.

계수 계산

계수는 핵의 실험적으로 측정된 질량에 맞춰서 계산된다. 계수 값은 데이터에 어떻게 맞춰지는지, 그리고 질량을 표현하는 데 어떤 단위가 사용되는지에 따라 달라질 수 있다. 몇 가지 예는 아래와 같다.

	Eisberg & Resnick[8]	최소제곱 적합 (1)	최소제곱 적합 (2)[9]	Rohlf[10]	Wapstra[11]
단위	Da	MeV	MeV	MeV	MeV
${\displaystyle a_{\rm {V}}}$	0.01691	15.8	15.76	15.75	14.1
${\displaystyle a_{\rm {S}}}$	0.01911	18.3	17.81	17.8	13
${\displaystyle a_{\rm {C}}}$	0.000763[a]	0.714	0.711	0.711	0.595
${\displaystyle a_{\rm {A}}}$	0.10175[b]	23.2	23.702	23.7	19
${\displaystyle a_{\rm {P}}}$	0.012	12	34	11.18	33.5
${\displaystyle k_{\rm {P}}}$	−1/2	−1/2	−3/4	−1/2	−3/4
${\displaystyle \delta _{0}}$ (짝수-짝수)	${\displaystyle -0.012 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +12 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +34 \over A^{3/4}}$	${\displaystyle +11.18 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle +33.5 \over A^{3/4}}$
${\displaystyle \delta _{0}}$ (홀수-홀수)	${\displaystyle +0.012 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -12 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -34 \over A^{3/4}}$	${\displaystyle -11.18 \over A^{1/2}}$	${\displaystyle -33.5 \over A^{3/4}}$
${\displaystyle \delta _{0}}$ (짝수-홀수, 홀수-짝수)	0	0	0	0	0
이 모형은 쿨롱 항의 분모에 ${\displaystyle Z^{2}}$을 사용한다. 이 모형은 비대칭 항의 분모에 ${\displaystyle (Z-A/2)^{2}}$을 사용한다.

이 공식은 핵의 내부 껍질 구조를 고려하지 않는다.

따라서 반경험적 질량 공식은 무거운 핵에는 잘 맞지만, 매우 가벼운 핵, 특히 ⁴He에는 잘 맞지 않는다. 가벼운 핵의 경우, 이 껍질 구조를 고려한 모델을 사용하는 것이 일반적으로 더 좋다.

공식의 결과 예시

E_b(A, Z)를 Z에 대해 최대화함으로써 주어진 질량수 A에 대한 최적의 중성자-양성자 비율 N/Z을 찾을 수 있다.^[10] 우리는 다음을 얻는다.

${\displaystyle N/Z\approx 1+{\frac {a_{\text{C}}}{2a_{\text{A}}}}A^{2/3}.}$

이것은 가벼운 핵의 경우 대략 1이지만, 무거운 핵의 경우 비율이 증가하며 실험과 잘 일치한다.

위의 Z 값을 다시 E_b에 대입하면, 질량수 A의 함수로서 결합 에너지 E_b(A)를 얻는다. E_b(A)/A를 A에 대해 최대화하면 가장 강하게 결합된, 즉 가장 안정한 핵을 얻는다. 얻는 값은 A = 63(구리)이며, A = 62(니켈) 및 A = 58(철)의 측정값과 가깝다.

물방울 모형은 핵의 자발 핵분열에 대한 안정성을 결정하는 핵분열 장벽을 계산할 수도 있다. 처음에는 104번 원자 번호를 초과하는 원소는 매우 짧은 반감기로 핵분열을 겪기 때문에 존재할 수 없을 것이라고 추측했지만,^[12] 이 공식은 닫힌 핵 껍질의 안정화 효과를 고려하지 않았다. 껍질 효과를 고려한 수정된 공식은 알려진 데이터와 예측된 안정성의 섬(여기서 핵분열 장벽과 반감기가 증가하여 껍질 폐쇄에서 최대에 도달할 것으로 예상됨)을 재현하지만, Z = 120과 N = 184를 초과하는 초중핵의 존재에 대한 가능한 한계도 시사한다.^[12]