아인슈타인-브릴루앵-켈러 방법

아인슈타인-브릴루앵-켈러 방법(영어: Einstein–Brillouin–Keller method, EBK)은 알베르트 아인슈타인, 레옹 브릴루앵, 조지프 켈러의 이름을 딴 반고전론 기법으로, 양자 역학 시스템에서 고윳값을 계산하는 데 사용된다. EBK 양자화는 고전적 회전점에서 코사인 위상 점프를 고려하지 않았던 보어-조머펠트 양자화의 개선된 방법이다.^[1][2] 이 절차는 3차원 조화 진동자, 상자 속 입자, 심지어 수소 원자의 상대론적 미세 구조의 스펙트럼까지 정확하게 재현할 수 있다.^[3]

1976년–1977년, 마이클 베리와 M. 태버는 EBK 양자화에서 시작하여 구츠윌러 추적 공식을 적분가능계의 상태 밀도로 확장하는 것을 유도했다.^[4][5]

이 주제와 관련된 계산 문제에 대한 최근의 여러 결과들이 있었는데, 예를 들어 에릭 J. 헬러와 에마뉘엘 데이비드 태넌바움의 편미분 방정식 경사 하강법 접근 방식을 사용한 연구가 있다.^[6]

절차

좌표 ${\displaystyle (q_{i},p_{i});i\in \{1,2,\cdots ,d\}}$로 정의되는 분리 가능한 고전 시스템에서, 각 ${\displaystyle (q_{i},p_{i})}$ 쌍이 ${\displaystyle q_{i}}$에서 닫힌 함수 또는 주기 함수를 나타낼 때, EBK 절차는 ${\displaystyle q_{i}}$의 닫힌 궤적에 대한 ${\displaystyle p_{i}}$의 선 적분을 양자화하는 것을 포함한다.

${\displaystyle I_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}dq_{i}=\hbar \left(n_{i}+{\frac {\mu _{i}}{4}}+{\frac {b_{i}}{2}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle I_{i}}$는 작용-각도 좌표, ${\displaystyle n_{i}}$는 양의 정수, ${\displaystyle \mu _{i}}$와 ${\displaystyle b_{i}}$는 마슬로프 지표이다. ${\displaystyle \mu _{i}}$는 ${\displaystyle q_{i}}$의 궤적에서 고전적 회전점의 수(디리클레 경계 조건)에 해당하며, ${\displaystyle b_{i}}$는 단단한 벽과의 반사 횟수(노이만 경계 조건)에 해당한다.^[7]

예시

1차원 조화 진동자

단순 조화 진동자의 해밀토니안은 다음과 같다.

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$

여기서 ${\displaystyle p}$는 선형 운동량이고 ${\displaystyle x}$는 위치 좌표이다. 작용 변수는 다음과 같다.

${\displaystyle I={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {2mE-m^{2}\omega ^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x}$

여기서 ${\displaystyle H=E}$가 에너지이고 닫힌 궤적이 0에서 회전점 ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}}$까지의 궤적의 4배임을 사용했다.

적분 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle E=I\omega }$

EBK 양자화에서 각 궤도에는 두 개의 부드러운 회전점 ${\displaystyle \mu _{x}=2}$와 ${\displaystyle b_{x}=0}$가 있다. 최종적으로, 다음을 얻는다.

${\displaystyle E=\hbar \omega (n+1/2)}$

이는 양자 조화 진동자의 양자화에 대한 정확한 결과이다.

2차원 수소 원자

수소 원자 내 비상대론적 전자(전하 ${\displaystyle e}$)의 해밀토니안은 다음과 같다.

${\displaystyle H={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

여기서 ${\displaystyle p_{r}}$은 방사형 거리 ${\displaystyle r}$에 대한 정준 운동량이고, ${\displaystyle p_{\varphi }}$는 방위각 ${\displaystyle \varphi }$의 정준 운동량이다. 작용-각도 좌표를 취하면 다음과 같다.

${\displaystyle I_{\varphi }={\text{constant}}=|L|}$

방사형 좌표 ${\displaystyle r}$의 경우:

${\displaystyle p_{r}={\sqrt {2mE-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}}}$

${\displaystyle I_{r}={\frac {1}{\pi }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}p_{r}dr={\frac {me^{2}}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {-2mE}}}}-|L|}$

여기서 두 고전적 회전점 ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ (${\displaystyle \mu _{r}=2}$) 사이에서 적분한다.

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}(I_{r}+I_{\varphi })^{2}}}}$

EBK 양자화 ${\displaystyle b_{r}=\mu _{\varphi }=b_{\varphi }=0,n_{\varphi }=m}$를 사용하면:

${\displaystyle I_{\varphi }=\hbar m\quad$ ;\quad m=0,1,2,\cdots }

${\displaystyle I_{r}=\hbar (n_{r}+1/2)\quad$ ;\quad n_{r}=0,1,2,\cdots }

${\displaystyle E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n_{r}+m+1/2)^{2}}}}$

그리고 ${\displaystyle n=n_{r}+m+1}$로 하면 2차원 수소 원자의 스펙트럼^[8]이 복원된다.

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}(n-1/2)^{2}}}\quad$ ;\quad n=1,2,3,\cdots }

이 경우 ${\displaystyle I_{\varphi }=|L|}$이 평면상의 각운동량 연산자 ${\displaystyle L_{z}}$의 일반적인 양자화와 거의 일치한다는 점에 유의한다. 3차원 경우에, 총 각운동량에 대한 EBK 방법은 랑거 보정과 동일하다.

같이 보기

• 해밀턴-야코비 방정식
• WKB 근사
• 양자 혼돈