플뢰어 호몰로지

심플렉틱 기하학에서 플뢰어 호몰로지(영어: Floer homology)는 심플렉틱 다양체에 대하여 정의되는 무한 차원 모스 호몰로지의 일종이다.

정의

심플렉틱 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에, 매끄러운 함수

${\displaystyle H\colon \mathbb {S} ^{1}\times M\to \mathbb {R} }$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 이를 시간 의존 해밀토니언으로 해석하여 심플렉틱 벡터장

${\displaystyle \omega (X_{t},-)=dH_{t}\qquad (t\in \mathbb {S} ^{1})}$

을 정의할 수 있다. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$의 둘레가 1이라고 놓으면, ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle [0,1]}$에서 적분하여 얻는 심플렉틱 사상

${\displaystyle \phi \colon M\to M}$

을 생각할 수 있다.

자유 고리 공간 ${\displaystyle {\mathcal {L}}M}$의 접다발 ${\displaystyle T{\mathcal {L}}M}$을 생각하자. 이 경우,

${\displaystyle (\gamma ,v)\in T{\mathcal {L}}M}$

에서 ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to M}$는 닫힌 곡선이며, ${\displaystyle v\colon \mathbb {S} ^{1}\to \gamma ^{*}(TM)}$는 그 위의 벡터장이다. ${\displaystyle T{\mathcal {L}}M}$ 위에 다음과 같은 범함수를 정의하자.

${\displaystyle F\colon {\mathcal {L}}M\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F\colon \gamma \mapsto -\int _{\mathbb {B} ^{2}}u^{*}\omega -\int _{\mathbb {S} ^{1}}H(t,\gamma (t))\,dt\qquad \forall u\colon \mathbb {B} ^{2}\to M,\;u|_{\partial \mathbb {B} ^{2}}=\gamma }$

이에 따라, ${\displaystyle F}$의 임계점은 ${\displaystyle \rho }$의 고정점과 같다.

플뢰어 사슬 복합체 ${\displaystyle \operatorname {CF} (M,H)}$는 아벨 군으로서, ${\displaystyle F}$의 임계점들로 생성되는 자유 아벨 군이다.

${\displaystyle \operatorname {Crit} F=\{\gamma \in {\mathcal {L}}M\colon F(\gamma )=0\}}$

${\displaystyle \operatorname {CF} (M,H)=\mathbb {Z} [\operatorname {Crit} F]}$

이 위에는 콘리-첸더 지표(영어: Conley–Zehnder index)라는 등급이 존재하며, 이는 스펙트럼 흐름에 따른 양의 고윳값의 수이다. 이는 일반적으로 무한하지만, 두 등급의 차 ${\displaystyle \operatorname {index} (\gamma ^{-},\gamma ^{+})}$는 잘 정의된다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상을 주자.

${\displaystyle \partial \colon \operatorname {CH} (M,H)\to \operatorname {CH} (M,H)}$

${\displaystyle \partial \gamma ^{-}=\sum _{\gamma ^{+}\in \operatorname {Crit} F}^{\operatorname {index} (\gamma ^{-},\gamma ^{+})=1}\#\left({\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+})/\mathbb {R} \right)\gamma ^{+}}$

여기서

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+})}$는 ${\displaystyle F}$에 대한 기울기 흐름(영어: gradient flow)의 모듈러스 공간이다. 즉, ${\displaystyle \gamma ^{-}}$와 ${\displaystyle \gamma ^{+}}$를 잇는 유사 정칙 곡면의 모듈러스 공간이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+})}$ 위에는 시간 평행 이동에 따른 자연스러운 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-작용이 존재하며, ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+})/\mathbb {R} }$는 이에 대한 몫공간이다.
• ${\displaystyle \operatorname {index} (\gamma ^{-},\gamma ^{+})=1}$인 경우, ${\displaystyle {\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+};A)/\mathbb {R} }$는 0차원이며, ${\displaystyle \#\left({\mathcal {M}}(\gamma ^{-},\gamma ^{+};A)/\mathbb {R} \right)}$는 이 몫공간의 점의 수이다.

이 경우, ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$임을 보일 수 있으며, 플뢰어 사슬 복합체의 호몰로지

${\displaystyle \operatorname {HF} (M,H)={\frac {\ker \partial }{\operatorname {im} \partial }}}$

를 플뢰어 호몰로지라고 한다. 이는 ${\displaystyle M}$의 특이 호몰로지와 일치한다. 즉, 플뢰어 호몰로지는 ${\displaystyle H}$에 의존하지 않는다.

위 정의를 약간 변형하여, 양자 코호몰로지와 일치하는 플뢰어 호몰로지를 정의할 수도 있다. 이 경우, 플뢰어 사슬 복합체는 곡선 ${\displaystyle \gamma }$ 대신 곡선과 상대 호모토피류 ${\displaystyle [u]\in \pi _{2}(M,\gamma )}$의 순서쌍 ${\displaystyle (\gamma ,[u])}$에 의하여 생성되는 자유 아벨 군이다.

관련 개념

(심플렉틱) 플뢰어 호몰로지를 변형하여, 다음과 같은 다양한 호몰로지 이론들을 얻을 수 있다.

• 라그랑지언 플뢰어 호몰로지(영어: Lagrangian Floer homology)는 어떤 라그랑지언 부분다양체가 주어진 심플렉틱 다양체에 대하여 정의되는 호몰로지 이론이다. 이는 거울 대칭에 의하여, 거울짝 다양체의 연접층의 Ext 함자와 일치한다.
• 3차원 다양체에 대하여, 다음과 같은 플뢰어 호몰로지들이 존재한다. 이들은 모두 서로 같다고 추측되며, 이는 부분적으로 증명되었다.
  • 순간자 플뢰어 호몰로지(영어: instanton Floer homology)는 도널드슨 불변량과 관련있다.
  • 자기 홀극 플뢰어 호몰로지(영어: monopole Floer homology)는 자이베르그-위튼 불변량과 관련있다.
  • 헤고르 플뢰어 호몰로지(영어: Heegaard Floer homology)는 조합론적으로 계산할 수 있는 호몰로지 이론이다.

역사

스위스의 수학자 안드레아스 플뢰어(독일어: Andreas Floer, 1956~1991)가 1988년에 아르놀트 추측을 증명하면서 도입하였다.^{[1][2][3][4][5][6]} 플뢰어는 곧 1991년에 우울증으로 인하여 34세의 나이로 자살하였다.