도널드슨 불변량

위상수학에서 도널드슨 불변량(Donaldson不變量, 영어: Donaldson invariant)은 4차원 매끄러운 다양체의 불변량의 하나로, 게이지 이론의 순간자 모듈라이 공간의 성질을 나타낸다.^{[1][2][3][4][5][6][7]} 도널드슨 불변량은 더 계산하기 쉬운 자이베르그-위튼 불변량과 동치인 것으로 추측된다. 도널드슨 불변량을 연구하는 위상수학의 분야를 도널드슨 이론(Donaldson理論, 영어: Donaldson theory)이라고 한다.

정의

도널드슨 불변량은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$의 불변량이며, 대수적 위상수학 또는 초대칭 위상 양자장론을 통해 정의할 수 있다.

수학적 정의

푸앵카레 쌍대성과 합곱을 사용해 2차 코호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Q} )}$ 위에 다음과 같은 교차 형식(영어: intersection form)을 정의할 수 있다.

${\displaystyle I\colon \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Q} )\times \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Q} )\to \mathbb {Q} }$

${\displaystyle I(\alpha ,\beta )=[M]\frown (\alpha \smile \beta )}$

여기서 ${\displaystyle [M]}$은 ${\displaystyle M}$의 기본류다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를 ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)}$, 음의 고윳값의 수를 ${\displaystyle b_{2}^{-}(M)}$이라고 하자. 물론

${\displaystyle b_{2}^{+}(M)+b_{2}^{-}(M)=b_{2}f(M)}$

은 ${\displaystyle M}$의 2차 베티 수이다. 앞으로, ${\displaystyle b_{2}^{+}>1}$이라고 가정하자.

${\displaystyle M}$에 임의의 리만 계량 ${\displaystyle g}$와 SU(2) 벡터다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$을 부여하자. 이 경우, ${\displaystyle E}$의 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}}$를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.^{[5]:(2), (3)}

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{E}={\begin{cases}-8c_{2}(E)-3(1-b_{1}(M)+b_{2}^{-}(M))&c_{2}(E)<0\\8c_{2}(E)-3(1-b_{1}(M)+b_{2}^{+}(M))&c_{2}(E)>0\end{cases}}}$

으로 주어진다. (만약 이 수가 음수라면 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}}$는 공집합이다.) 여기서 ${\displaystyle c_{2}(E)}$는 ${\displaystyle E}$의 2차 천 수이고, ${\displaystyle b_{i}(M)}$은 ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle i}$차 베티 수이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.)

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{E}}$가 ${\displaystyle E}$ 위에 존재하는 모든 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다.

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}\hookrightarrow {\mathcal {C}}_{E}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}}$는 물론 리만 계량 ${\displaystyle g}$에 의존하지만, ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)>1}$이라면 호몰로지류 ${\displaystyle [{\mathcal {M}}_{E,g}]\in \operatorname {H} _{\bullet }({\mathcal {C}}_{E})}$는 ${\displaystyle g}$에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서

${\displaystyle [{\mathcal {M}}_{E}]\in \operatorname {H} _{\bullet }({\mathcal {C}}_{E})}$

를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만, ${\displaystyle M}$의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 위상동형(위상다양체로서 동형)이지만 미분동형(매끄러운 다양체로서 동형)이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다.

스펙트럼 열을 사용하여, 다음과 같은 군 준동형을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mu \colon \operatorname {H} _{k}(M;\mathbb {Q} )\to H^{4-k}({\mathcal {C}}_{E};\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle M}$은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체라고 가정하였으므로, ${\displaystyle M}$의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(M;\mathbb {Q} )=0}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{b_{2}}=\operatorname {span} \{\gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}\}}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{3}(M;\mathbb {Q} )=0}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{4}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }$

여기서 ${\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}}$는 임의로 잡은 ${\displaystyle H_{2}(M;\mathbb {Q} )}$의 기저다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다.

• ${\displaystyle \mu (\operatorname {H} _{4}(M;\mathbb {Q} ))=0}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{E}}$의 코호몰로지 환 ${\displaystyle H^{\bullet }({\mathcal {C}}_{E};\mathbb {Q} )}$는 ${\displaystyle \mu }$에 의하여 다항식환 ${\displaystyle \mathbb {Q} [x,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}]}$와 표준적(canonical)으로 동형이다. 여기서 ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle H_{0}(M;\mathbb {Q} )}$에 대응하는 생성원이다.

이제, 도널드슨 다항식(Donaldson多項式, 영어: Donaldson polynomial) ${\displaystyle D_{E}\colon \mathbb {Q} [x,\gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}]\to \mathbb {Q} }$은 다음과 같은 사상이다.

${\displaystyle Q_{E}(p)=[{\mathcal {M}}_{E}]\frown p\left(\mu (x),\mu (\gamma _{1}),\dots ,\mu (\gamma _{b_{2}})\right)}$

물리학적 정의

4차원 다양체 ${\displaystyle M}$의 도널드슨 다항식 불변량은 ${\displaystyle M}$ 위에 존재하는 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초대칭 게이지 이론의 상관 함수로 정의할 수 있다.

${\displaystyle M}$ 위에 임의의 리만 계량을 부여하고, 그 위에 게이지 군이 콤팩트 반단순 리 군 ${\displaystyle G}$인 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 초대칭 양-밀스 이론을 생각하자. 이 이론은 로런츠 대칭과 R대칭을 갖는데, 로런츠 군

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{left}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{right}}\cong \operatorname {Spin} (4)}$

는 4차원 스핀 군이고, ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ R대칭군은 SU(2)_R이다. 이제 새 로런츠 부분군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{right}}'}$을 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{right}}}$와 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{R}}}$의 대각 성분으로 정의하여, 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가한다. 그렇다면 이론의 장들은 다음과 같다.

기호	설명	뒤틀기 전 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×SU(2)R×U(1)R	뒤튼 뒤 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×U(1)R	뒤튼 뒤 설명
${\displaystyle Q_{\alpha }}$	왼쪽 초전하	(½, 0, ½)−1	(½, ½)−1	${\displaystyle Q_{\mu }}$
${\displaystyle {\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}}$	오른쪽 초전하	(0, ½, ½)+1	(0,0)+1	BRST 연산자 ${\displaystyle Q}$
			(0, 1)+1	${\displaystyle Q_{\mu \nu }}$
${\displaystyle A_{\mu }}$	게이지 보손	(½, ½, 0)0	(½,½)0	${\displaystyle A_{\mu }}$ 게이지 보손
${\displaystyle \psi }$	왼손 게이지노	(½, 0, ½)+1	(½,½)+1	${\displaystyle \psi _{\mu }}$ 유령
${\displaystyle {\bar {\psi }}}$	오른손 게이지노	(0, ½, ½)−1	(0,1)−1	${\displaystyle \chi _{\mu \nu }}$ 반유령 (${\displaystyle F^{+}=0}$ 제약에 대응)
			(0,0)−1	${\displaystyle \eta }$ 반유령
${\displaystyle \phi }$	스게이지노(영어: sgaugino)	(0, 0, 0)+2	(0,0)+2	${\displaystyle \phi }$ (게이지 변환 매개변수)
${\displaystyle \phi ^{*}}$	반스게이지노(영어: antisgaugino)	(0, 0, 0)−2	(0,0)−2	${\displaystyle \lambda }$ 유령

따라서, 뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우, ${\displaystyle (A_{\mu },\psi _{\mu })}$, ${\displaystyle (\lambda ,\eta )}$는 ${\displaystyle Q}$에 대한 초다중항을 이룬다. ${\displaystyle \chi }$는 ${\displaystyle F^{+}=0}$ 제약에 대응하며, ${\displaystyle \phi }$는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다.

이제, 초대칭 연산자 ${\displaystyle Q}$를 BRST 대칭으로 생각하여, 모든 관측가능량을 ${\displaystyle Q}$에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 위상 양자장론을 이룬다.

이제, 다음과 같은 게이지 불변, ${\displaystyle Q}$-닫힌 연산자를 생각하자.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{0}={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\operatorname {tr} \phi ^{2}}$

이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{0}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{1}\}}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{1}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{2}\}}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{2}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{3}\}}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{3}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{4}\}}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{4}=0}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$는 ${\displaystyle k}$차 코호몰로지류이다. 따라서, 임의의 ${\displaystyle k_{i}}$차 호몰로지류 ${\displaystyle \Sigma _{i}}$들에 대하여, 다음과 같은 상관 함수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \left\langle \int _{\Sigma _{1}}{\mathcal {O}}_{k_{1}}\cdots \int _{\Sigma _{i}}{\mathcal {O}}_{k_{i}}\cdots \right\rangle }$

이 경우, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{4}\propto F\wedge F\propto c_{2}(E)}$는 CP 위반항이므로,

${\displaystyle \int _{M}{\mathcal {O}}_{4}\sim \int _{M}F\wedge F=[M]\frown c_{2}(E)}$

는 단순히 순간자수(게이지 주다발의 2차 천 특성류)이다. 따라서 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{4}}$의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류 ${\displaystyle \Sigma _{i}\in H_{2}(M)}$ 및 0차 호몰로지 류 ${\displaystyle x_{i}\in H_{0}(M)}$를 사용하여, 상관 함수

${\displaystyle \left\langle \int {\mathcal {O}}_{0}(x_{1})\cdots \int _{\Sigma _{1}}{\mathcal {O}}_{2}\cdots \right\rangle }$

를 정의할 수 있다. 이를 도널드슨 다항식이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다.

크론하이머-므로카 기본류

게이지 군 ${\displaystyle G}$가 SU(2)일 경우를 생각하자. 4차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 단순형 다양체(영어: manifold of simple type)라고 하자.

${\displaystyle Q_{8+\deg p}(x^{2}p(x,{\vec {\gamma }}))=4Q_{\deg p}(p(x,{\vec {\gamma }}))}$

여기서 ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} [x,{\vec {\gamma }}]}$이며, ${\displaystyle \deg p}$는 ${\displaystyle x}$를 차수 4, ${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다.

이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 생성 함수로 완전히 결정된다.

${\displaystyle D({\vec {\gamma }})=\sum _{n}\left({\frac {Q_{2n}(\gamma ^{d})}{d!}}+{\frac {Q_{2n+4}(x\gamma ^{d})}{2d!}}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ({\vec {\gamma }})=D(0,{\vec {\gamma }})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}D(0,{\vec {\gamma }})}$

이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다.

${\displaystyle \mathbb {D} (\gamma )=\exp(\gamma .\gamma /2)\sum _{x\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}\exp(x\cdot \gamma )n_{x}}$

여기서 ${\displaystyle n_{x}\neq 0}$인 2차 코호몰로지 원소들을 크론하이머-므로카 기본류(영어: Kronheimer–Mrowka basic class)라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이 ${\displaystyle n_{x}}$들은 자이베르그-위튼 불변량과 같다고 추측된다.

역사

사이먼 도널드슨이 1983년에 도입하였다.^[8] 이후 에드워드 위튼이 1994년에 이를 초대칭 게이지 이론의 위상 양자장론으로 정의할 수 있음을 보였다.^[9]

피터 크론하이머와 토머스 므로카(영어: Thomasz S. Mrowka)가 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다.^[10][11] 같은 해에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.^[12][13]

같이 보기

• 순간자
• 플뢰어 호몰로지
• 양-밀스 방정식