브라-켓 표기법(영어: bra-ket notation)은 양자역학에서 양자 상태를 표현하는 표준 표기법으로, 추상적인 벡터와 선형 범함수를 표현하는 데 사용된다.
이 표기법은 꺾쇠괄호 '⟨', '⟩'와 , 수직선 '|' 을 사용하여 표기한다.
오른꺾쇠괄호로 표기한 것을 켓이라고 하며, 주로 열벡터를 나타내고 다음과 같이 쓰인다.
![{\displaystyle |\psi \rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e)
왼꺾쇠괄호로 표기한 것을 브라라고 하며, 주로 행벡터를 나타내고, 다음과 같이 쓰인다.
![{\displaystyle \langle \phi |}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/551efc9f54d1e2c864dcf38fb7ce534b3ed3671a)
여기에서 |A⟩는 '켓-A'로 읽고, ⟨A|는 '브라-A'로 읽는다.
유한차원벡터공간에 포함된 브라와 켓에 대하여 일반적으로 다음이 성립한다.
![{\displaystyle |A\rangle ={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\A_{4}\\\vdots \\A_{N}\\\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1dc4063f3ca5f96ed7826024dc5a0f63258a153)
![{\displaystyle \langle A|={\begin{pmatrix}A_{1}^{*},&A_{2}^{*},&A_{3}^{*},&A_{4}^{*},&\cdots ,&A_{N}^{*}\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a2c5f34919e1d6551112f6b65eb3a9adb10dbf)
이때, A*은 A의 켤레 복소수이다.
브라와 켓, 그리고 연산자의 조합은 행렬 곱셈을 표현하는데 사용된다.
브라-켓 표기법은 복소벡터공간에서 벡터의 스칼라곱 또는 벡터 위로의 선형 범함수의 작용을 나타내기 위해 사용된다.
내적이나 작용은 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현된다.
![{\displaystyle \langle \phi {\mid }{\mid }\psi \rangle =\langle \phi {\mid }\psi \rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719a7eb0d769559ded3b9841210db709d06aeeb9)
같은 레이블인(같은 내용물을 가진)브라와 켓은 서로에게 에르미트 수반이다.
쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓벡터가 대응된다는 리스 표현 정리에 의해 〈ψ| 는 다음과 같이 켓벡터 |ψ〉 와 대응되며 잘 정의되어 있다.
![{\displaystyle |\psi \rangle \quad {\overset {\mathrm {DC} }{\leftrightarrow }}\quad \langle \psi |}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9d145f4c9465d047738a9999f8b8e98f889fd2)
브라-켓 표기법은 1939년에 폴 디랙에 의해 소개되었기 때문에[1][2] 디랙 표기법이라고도 한다.
브라-켓 표기법이 생겨나기 100년 전쯤에 헤르만 그라스만이 내적을
으로 표기한 전례가 있다.
[3]