Logaritmas

Matematikoje skaičiaus logaritmas (gr. logos – santykis + gr. arithmos – skaičius) – laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti kitą fiksuotą skaičių (pagrindą), kad būtų gautas tas skaičius.^[1] Logaritmas yra atvirkštinė pagrindo kėlimo laipsniu funkcija. Veiksmas, kuriuo randamas skaičiaus logaritmas vadinamas logaritmavimu, o priešingas veiksmas vadinamas potencijavimu arba antilogaritmavimu.^[2]

Logaritminės funkcijos pagrindu 2 grafikas kerta ordinačių ašį ties vienetu ir praeina per taškus (2,1), (4,2) ir (8,3).

Džonas Neperis (1550–1617), logaritmų išradėjas.

Pavyzdžiui, 1000 logaritmas pagrindu 10 yra 3, nes 10 pakėlus 3 laipsniu gaunamas 1000: 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. Bendru atveju, bet kuriems dviem realiems skaičiams b ir x, kur b yra teigiamas ir b ≠ 1,

${\displaystyle y=b^{x}\Leftrightarrow x=\log _{b}(y)}$

Logaritmas, kurio pagrindas skaičius 10, yra vadinamas dešimtainiu logaritmu ir yra taikomas inžinerijoje. Logaritmas pagrindu e (≈ 2,718) yra vadinamas natūriniu logaritmu ir yra plačiai naudojamas grynojoje matematikoje, ypač integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime. Dvejetainis logaritmas naudoja pagrindą 2 (b = 2), naudojamas kompiuterių moksle.

Logaritmus atrado ir tyrė jų savybes škotų matematikas Džonas Neperis 1614 m.,^[3] jis taip pat sukūrė „Nepero lazdeles“, kurios palengvino logaritmų skaičiavimą.^[4] Šiuolaikinį logaritmų žymėjimą įvedė XVIII a. Leonardas Euleris.

Praktiniams logaritmų skaičiavimams ilgą laiką buvo plačiai naudojama logaritminė liniuotė, kurią ilgainiui pakeitė šiuolaikiniai skaičiuotuvai.^[5]

Veiksmai su logaritmais

Logaritmų sudėties pakeitimas sandauga

${\displaystyle log_{b}(x)+log_{b}(y)}$ yra lygus ${\displaystyle log_{b}(xy)}$

Pavyzdžiui: ${\displaystyle log_{2}(4)+log_{2}(8)=log_{2}(4*8)=log_{2}(32)=5}$

Įrodymas: ${\displaystyle log_{2}(4)=2}$,o ${\displaystyle log_{2}(8)=3}$, taigi 2+3=5.;

Logaritmų atimties pakeitimas dalyba

Logaritmų atimtis yra priešingas veiksmas sudėčiai, todėl pologaritminius reiškinius (pažymėta raide 'X') reikės dalinti.

Pavyzdžiui: ${\displaystyle log_{2}(8)-log_{2}(4)}$. Šis reiškinys bus lygus ${\displaystyle log_{2}(8/4)}$, taigi jis lygus ${\displaystyle log_{2}(2)=1}$.

Įrodymas: 3-2=1.

Pastaba: logaritmo pagrindas (pažymėta raide b) turi būti didesnis už nulį ir nelygus 1, o pologaritminis reiškinys (X) didesnis už 0.

Logaritmų savybės

${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}$
${\displaystyle \log _{10}a=\lg a}$
${\displaystyle \log _{e}a=\ln a}$
${\displaystyle \ln 1=0}$
${\displaystyle \log _{a}1=0}$
${\displaystyle \log _{a}a=1}$
${\displaystyle \log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}x+\log _{a}y}$
${\displaystyle \log _{a}{\Big (}{\frac {x}{y}}{\Big )}=\log _{a}x-\log _{a}y}$
${\displaystyle \log _{a}(x^{k})=k\cdot \log _{a}x}$
${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{c}x}{\log _{c}a}}}$ – pagrindų keitimo formulė.
${\displaystyle \log _{a^{n}}x^{n}=\log _{a}x}$
${\displaystyle \log _{a^{n}}x={\frac {1}{n}}\log _{a}x}$
${\displaystyle \log _{a^{n}}{x^{m}}={\frac {m}{n}}\log _{a}x}$

Pavyzdžiu patvirtinsime šitą formulę:

${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{c}x}{\log _{c}a}}.}$

${\displaystyle \log _{2}256=\log _{2}2^{8}=8;}$

${\displaystyle {\frac {\log _{4}256}{\log _{4}2}}={\frac {\log _{4}4^{4}}{\log _{4}4^{1 \over 2}}}={\frac {4}{1 \over 2}}=8;}$

čia a=2, x=256, c=4.