Rezonanse

Rezonanse fizikā ir parādība, ka uzspiestām svārstībām palielinās to amplitūda.^[1] Uzspiestā spēka frekvence, kurā svārstībām ir vislielākā amplitūda, sauc par rezonanto frekvenci. Ja sistēmai ir vairākas brīvības pakāpes, tad tai ir vairākas naturālās frekvences un rezonanse ir iespējama katrā no šīm frekvencēm (piemēram, stīgu instrumentiem vai pūšaminstrumentiem).^[2]

Rezonances animācija- ja uz atsperes svārstu darbojas ārējs spēks, kura frekvence sakrīt ar svārsta naturālo frekvenci, svārstību amplitūda kļūst maksimāla

Rezonanse notiek, kad vibrējošā sistēma spēj absorbēt enerģiju no enerģijas avota (uzspiestā spēka) un to uzglabā. Bet pastāv enerģijas zudumi, kas pārvērš svārstības par rimstošām.^[3][4] Šie zudumi ir atkarīgi no amplitūdas, tomēr, iedarbojoties nemainīgam uzspiedējspēkam, iestājas līdzsvars starp iegūto un zaudēto enerģiju.

Rezonances veidi

Ja uzspiesto svārstību frekvence ir par mazu vai par lielu, svārstību amplitūdas ir nelielas.

Rezonance ir novērojama daudzās vietās, piemēram:

• Mehāniskā rezonanse — atsperes svārsts, matemātiskais svārsts, stīgas stāvvilnis, orbitālā rezonanse
• Elektriskā rezonanse — visādas RLC ķēdes, induktīvo spoļu rezonanse(bezvadu lādēšana), kvarca rezonators
• Magnētiskie — elektronu paramagnētiskā rezonanse, kodolu magnētiskā rezonanse

u.c.

Mehāniskā rezonanse

Rezonanses grafiks dažādām ${\displaystyle Q}$ vērtībām. Jo lielāks ${\displaystyle Q}$, jo izteiktāka rezonanse.

Kad mehāniskas sistēmas svārstās, tās to dara savā naturālajā frekvencē:

• matemātiskie svārsti ${\displaystyle \omega _{svarsts}={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$, kur ${\displaystyle g}$ ir brīvās krišanas paātrinājums un ${\displaystyle l}$ ir svārsta garums
• atsperes svārsts ${\displaystyle \omega _{atspere}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$, kur ${\displaystyle k}$ ir stinguma koeficients un ${\displaystyle m}$ ir masa.

Šīs sistēmas var iesvārstīt ar ārēju spēku palīdzību. Ja šis ārējais spēks ir periodisks un laikā mainās, ${\displaystyle F_{arejais}=F_{0}\cdot \cos(\omega t)}$. Visvairāk enerģijas var pārnest no ārējā spēka uz svārstību spēku ir tad, ja ārējā spēka frekvence sakriī ar šo svārstu naturālo frekvenci ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$. Var iegūt arī lielas amplitūdas ap naturālo frekvenci, ja zudumi nav pārāk lieli.^[3]

Rezonances kvalitātei ievieš kvalitātes faktoru Q, kuru definē kā ${\displaystyle Q={\frac {m\omega _{0}}{b}}}$, kur ${\displaystyle \omega _{0}}$ ir naturālā/rezonanses frekvence un ${\displaystyle b}$ ir pretestības koeficients, piemēram, gaisa pretestība. Pie mazāka rimšanas koeficienta ir lielāka ${\displaystyle Q}$ vērtība un tā raksturo maksimālo šīs sitēmas amplitūdu. Šī vērtība arī ir saistīta ar maksimuma platumu, ka pirmajā tuvinājumā maksimuma platums ir apgriezti proporcionāls ${\displaystyle Q}$ vērtībai:

${\displaystyle {\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}={\frac {1}{Q}}}$, kur ${\displaystyle \Delta \omega _{0}}$ ir rezonanses maksimuma platums.^[3]

Rezultātu, ka rezonanse notiek, kad frekvence sakrīt ar naturālo frekvenci, var iegūst matemātiski, ja atrisina 2.Ņūtona likumu diferenciālvienādojuma formā:

${\displaystyle ma=-kx-bv+F_{arejais}\cdot \cos(\omega t)}$. Šo atrisinot var iegūt maksimālās aplitūdas vērtību ${\displaystyle A_{max}}$ un pie kādas fāzu nobīdes/sākumnosacījumiem var īstenot šo ${\displaystyle A_{max}}$ svārstību režīmu.^[3]

Rezonanse elektrībā

Pārrautas RLC ķēdes komponentes virknē

Elektrībā var novērot gan sprieguma, gan strāvas rezonansi. Atšķirīgas rezonanses tiek iegūtas atkarībā no tā kā ir saslēgtas RLC ķēdes komponentes (R- pretestība, L- induktivitāte un C- kapacitāte), virknē vai paralēli un dažādās kombinācijās.

Rezonanses elektrība iedala sprieguma rezonansē un strāvas rezonansēs.

Sprieguma rezonanse

Spriegumu grafiks- atkarībā no frekvences kapacitatoram vai spolei ir lielāks sprieguma kritums nekā rezistoram RLC virknes ķēdē.

Ar sprieguma rezonansi var panākt, ka spriegums ķēdē ir lielāks par ieejas spriegumu.^[5] Virknes/spieguma elektrisko rezonansi izmanto TV un radio, lai regulētu stacijas. Vairākas frekvences ienāk slēgumā, bet liela strāva plūst tikai tām, kurām ir rezonantā frekvence.^[6][3]

Mainot, piemēram, kapacitāti var regulēt ar kurām frekvencēm notiks rezonanse

To iegūst, ja RLC komponentes ir saslēgtas virknē. Tāda gadījumā efektīvo strāvu šādā ķēdē iegūst pēc Oma likumam līdzīgas formulas:

${\displaystyle I_{ef}={\frac {U_{ef}}{Z}}}$, kur ${\displaystyle I_{ef}}$ ir strāvas efektīvā vērtība visā slēgumā, ${\displaystyle U_{ef}}$ ir sprieguma efektīvā vērtība uz rezistoru un ${\displaystyle Z}$ ir maiņstrāvas ķēdes impedance. Izvēršot tālāk šo vienādojumu iegūst: ${\displaystyle I_{ef}={\frac {U_{ef}}{\sqrt {R^{2}+(\omega L-{\frac {1}{\omega C}})^{2}}}}}$, kur impedance ${\displaystyle Z}$ tika izrakstīka pa komponentēm- aktīvā pretestība ${\displaystyle R}$ (kas nav atkarīga no frekvences) un reaktīvā pretestība ${\displaystyle \omega L-{\frac {1}{\omega C}}}$ (kas ir atkarīga no frekvences). Vismazākais saucējs būs gadījumā, kad reaktīvā pretestība būs vienāda ar nulli, jeb ${\displaystyle \omega L={\frac {1}{\omega C}}\longrightarrow \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$ un rezonantā frekvence ir ${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$, tad strāva ķēdē būs maksimāla.^[7]

Taču vēlamāks fenomens ir tas, ka sprieguma kritumi un pieaugumi ap kondensatoru un spoli var būt pat lielāki par barošanas avota spriegumuem. Tas ir tādēļ, jo šie spriegumi ir atkarīgi no frekvences: ${\displaystyle U_{L}=I_{kede}\cdot X_{L}={\frac {U_{R}}{Z}}\cdot \omega L}$ un ${\displaystyle U_{C}=I_{kede}\cdot X_{C}={\frac {U_{R}}{Z}}\cdot {\frac {1}{\omega C}}}$^[8]

Piemērs

Radiostacija veic pārraidi ar frekvenci kilohercos ${\displaystyle f=1040\ {\text{kHz}}}$, tavam uztvērēja slēgumam ir spole ar induktivitāti milihenrijos ${\displaystyle L=4\ {\text{mH}}}$, kādu kondensatoru vajadzētu izmantot, lai mazinātu trokšņus klausoties stacijā?

Uztvērēja slēgumam vajadzētu būt tādam, lai tā frekvence sakristu ar rezonanses frekvence būtu ${\displaystyle f=1040\ {\text{kHz}}}$. Izmantojam formulu: ${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\longrightarrow C={\frac {1}{4\pi ^{2}Lf}}\approx 5.85\ {\text{pF}}}$, kur atbilde ir pikofarados.^[3]

Strāvas rezonanse

Apskatītais strāvas rezonanses slēgums. Pastāv vēl citas kombinācijas, kur likt rezistoru, kondensatoru un spoli.

Strāvas rezonanse nāk no LC paralēlā slēguma. Tā var panākt, ka strāva, kas plūst caur spoli ir daudz lielāka nekā par rezultējošo strāvu ķēdē. Paralēlo/strāvas elektrisko rezonansi var izmantot kā filtru, lai tiktu vaļā no kādas atsevišķas trokšņa signāla frekvences.

Strāvu komponenšu ģeometriskā interpretācija: attēlots ${\displaystyle I_{R},\ I_{L}\ I_{C},\ I}$, bet trūkst ${\displaystyle I_{RL}}$, ko veido tikai${\displaystyle I_{R}}$ un ${\displaystyle I_{L}}$

Paralēlai ķēdei izpildīsies tas, ka abos zaros būs vienāds sprieguma kritums ${\displaystyle U}$. Kā arī ķēdes rezultējošā strāvai izpildīsies ${\displaystyle I^{2}=I_{R}^{2}+(I_{L}-I_{C})^{2}}$(no maiņstrāvas ģeometriskās interpretācijas). Tā kā vajadzētu iegūt izteiksmes visām strāvām un kā tās saistās ar pretestībām, šoreiz vadītspējām, jeb apgrieztajām pretestībām.

Vispirms projicējam RL zara strāvu ${\displaystyle I_{LR}}$ un iegūstam (caur ģeometrisko interpretāciju):

${\displaystyle I_{L}=I_{RL}\sin(\varphi )=\underbrace {\frac {U}{\sqrt {R^{2}+X_{L}^{2}}}} _{I_{RL}}\cdot \underbrace {\frac {X_{L}}{\sqrt {R^{2}+X_{L}^{2}}}} _{\sin(\varphi )}=U\cdot \sigma _{L}}$ , kur ${\displaystyle \sigma _{L}}$ ir vādītspēja. Tā pat izdarām rezistora strāvai ${\displaystyle I_{R}=I_{RL}\cos(\varphi )=\underbrace {\frac {U}{\sqrt {R^{2}+X_{L}^{2}}}} _{I_{RL}}\cdot \underbrace {\frac {R}{\sqrt {R^{2}+X_{L}^{2}}}} _{\sin(\varphi )}=U\cdot \sigma _{R}}$

Kondensatora zaram ${\displaystyle I_{C}={\frac {U}{X_{C}}}=U\sigma _{C}}$.

Tagad ieliekam atsevišķās strāvas iekšā rezultējošās strāvas vienādojumā un iegūstam: ${\displaystyle I^{2}=(U\sigma _{R})^{2}+(U\sigma _{L}-U\sigma _{C})^{2}}$, jeb ${\displaystyle I=U{\sqrt {\sigma _{R}^{2}+(\sigma _{L}-\sigma _{C})^{2}}}}$, kas rezonēs un būs minimāla pie ${\displaystyle \sigma _{L}=\sigma _{C}}$. Aizvietojot vienādojumu ar pretestībām iegūst: ${\displaystyle {\frac {X_{L}}{R^{2}+X_{L}^{2}}}={\frac {1}{X_{C}}}}$, ko vēl var pārveidot ar reaktīvo pretestību definīcijām ${\displaystyle X_{L}=\omega L}$ un ${\displaystyle X_{C}={\frac {1}{\omega C}}}$ un iegūt ${\displaystyle {\frac {\omega L}{R^{2}\omega ^{2}L^{2}}}=\omega C\longrightarrow \omega ={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{L^{2}}}}}}$. Ja ${\displaystyle X_{L}^{2}\gg R^{2}}$, tad rezonanses frekvence paralēlajā slēgumā sakrīt ar virknes slēguma frekvenci.^[7]

Elektronu paramagnētiskā rezonanse

Elektronu paramagnētiskās rezonanses spektra attēls

Elektronu magnētisko momentu orientācijai magnētiskajā laukā raksturīga šo magnētisko momentu precesija ap lauka virzienu. Vispārīgajā gadījumā precesijas Larmora frekvenci var izteikt šādi:

${\displaystyle \omega _{L}=g{\frac {e}{2m}}B}$, kur ${\displaystyle g}$ ir Landē faktors (${\displaystyle g=1}$ orbitālā momenta precesijai un ${\displaystyle g=2}$ brīvo elektronu spinu precesijai), ${\displaystyle e}$ ir elektrona lādiņš, ${\displaystyle m}$ ir elektrona masa un ${\displaystyle B}$ ir magnētiskā lauka indukcija. Šo rezonansi var panākt, uz paramagnētisku vielu iedarbojoties ar pastāvīgu magnētisko lauku ${\displaystyle {\vec {B}}}$ un vienlaikus vēl ar periodiski mainīgu magnētisko lauku ${\displaystyle B_{1}=B_{0}\cdot \sin(\omega t)}$, kur ${\displaystyle B_{1}}$ ir perpendikulārs ${\displaystyle {\vec {B}}}$. Ja mainīgā lauka frekvence sakrīt ar Larmora frekvenci, iestājas elektronu paramagnētiskā rezonanse.

Rezonanses stāvoklī sistēmas svārstību amplitūda un svārstību enerģija ir maksimāla. Līdz ar to mērīšanas iekārta reģistrē absorbciju maksimumus. Ar to palīdzību var noteikt defektus vai citu elementu piejaukumus. Šai metodei ir liela jutība un to var sekmīgi izmantot dažādu ķīmisku un bioķīmisku reakciju pētīšanai.^[7]