Геометриска распределба

Во веројатностa и во статистиката, геометриска распределба G(p), p∈(0,1) е случаен експеримент во кој Бернулиев опит со веројатност на успех p се повторува сè додека нема успех, па се запишува бројот k на повторувањето кога се случил тој прв успех.^[1]

Геометриска распределба
Закон на распределба (pdf)
Кумулативна распределба (cdf)
Тип	Дискретна
Означување	G(p)
Параметри	p∈[0,1]
Поддршка	k∈{1,2,...,n,...}
PDF	${\displaystyle f(k)=p(1-p)^{k-1}\,\,\,k\in \mathbb {N} }$
CDF	${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{0\,\,\,\,\,x<1}\\{1-{{(1-p)}^{floor(x)}}\,\,\,x\geq 1}\end{array}}\right.}$
μ	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$
σ2	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$

Одлики на геометриската распределба G(p)

• Геометриската распределба е потполно определена со веројатноста на успехот p.
• Геометриската распределба е дискретна распределба со дискретната случајна променлива со безброј елементи: X={1,2,...,n,...}=ℕ.
• Pr(X=k) е веројатноста дека за првпат имало успех на k-тото повторување на Бернулиевиот опит со веројатност на успех p, k∈X. (Значи, сите k-1 повторувања на опитот пред тоа биле неуспешни).

Во табелата подолу се наведени сите подредени исходи (пишувајќи 0 за неуспех, а 1 за успех како што е вообичаено за Бернулиев опит) во геометриски експеримент. Подредените исходи не се исходите на геометрискиот експеримент. Во експериментот, исходите се само k, но вака можеме да видиме како се пресметува соодветната веројатност на исходот.

k	1	2	3	4	5	...
	1	01	001	0001	00001	...

• Има точно еден исход за секој k∈X, односно точно еден исход каде што во k-тото повторување е првиот успех (а штом се појави успех застануваме со повторување на Бернулиевиот опит).
• Од друга страна, бидејќи секое повторување на Бернулиев опит е независно од минатите и од идните повторувања, веројатноста Pr(X=k) е веројатност на k-1 неуспеси и 1 успех, односно

${\displaystyle Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p=p(1-p)^{k-1}}$.

Се разбира дека може да се докаже дека збирот на веројатностите е 1.^[2]

${\displaystyle \sum \limits _{k}{\Pr(X=k)}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }p(1-p)^{k-1}=p\cdot \sum \limits _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k-1}=p\cdot ((1+(1-p)+(1-p)^{2}+(1-p)^{3}+...)}$

каде што имаме збир на бескрајна геометриска низа, т.е. геометриски ред со полупречник r=(1-p) таков што 0<r<1. Следува

${\displaystyle p\cdot (1+(1-p)+(1-p)^{2}+(1-p)^{3}+...)=p\cdot S_{\infty }(1-p)=p\cdot {\frac {1}{1-(1-p)}}={\frac {p}{p}}=1\,}$.

Распределби на геометриска распределба

• Геометриски експеримент G(p) ја има дискретната случајна променлива: X={1,2,3,...}=ℕ.

Закон на распределба - PDF на G(p)

PDF на G(p)
X=k	Pr(X=k)=f(k)
1	${\displaystyle p\cdot (1-p)^{1-1}=p}$
2	${\displaystyle p\cdot (1-p)^{2-1}=p(1-p)}$
3	${\displaystyle p\cdot (1-p)^{3-1}=p(1-p)^{2}}$
...	...
n	${\displaystyle p\cdot (1-p)^{n-1}}$
...	...

Кумулативна распределба - CDF на G(p)

Вредностите на кумулативната распределба се делумните збирови на геометриски ред.^[3]

CDF на G(p)
x∈ℝ	F(x)
x<1	${\displaystyle 0}$
1≤x<2	${\displaystyle 1-(1-p)^{1}=p}$
2≤x<3	${\displaystyle 1-(1-p)^{2}=p(2-p)}$
...	...
n≤x<n+1	${\displaystyle {1-(1-p)^{n}}}$
...	...

Мерки на геометриски експеримент

• Очекувана вредност E(x)  ^[4]

${\displaystyle E(x)=\sum \limits _{j}{x_{j}}\cdot {p_{j}}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }k\cdot p(1-p)^{k-1}={\frac {1}{p}}}$

• Дисперзија σ^{2  [5]}

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{j}({x_{j}}-E(x))^{2}\cdot {p_{j}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}$

Примери

Пример: Експериментот е: Се фрла коцка сè додека не падне 5-ка. Опиши го експериментот. Експериментот е геометриска распределба со Бернулиев опит: успех=5-ка. Значи p=⅙=0,167. Значи G(0,167).

PDF-от на G(0,167) X=k f(k)=Pr(X=k) 1  0,1667·0.83330=0,1667 2  0,1667·0.83331=0,1389 3  0,1667·0.83332=0,1157 4  0,1667·0.83333=0,0965 ... ... 25  0,1667·0.833324=0,0130 ... ... Σ 1,0000	CDF-от на G(0,167) x F(x) x<1 0 1≤x<2 0,1667 2≤x<3 0,3056 3≤x<4 0,4213 4≤x<5 0,6723 ... ... 15≤x<16 0,9351 ... ...

Очекуваната вредност:	E(x) = 1/p = 1/0,167 = 6
Дисперзијата е:	σ2 = (1-p)/p² = 0,833/0,167² = 30
Стандардното отстапување е:	σ ≈ 5,477

Пример: Еден стрелец има веројатност p=0,8 да ја погоди целта. Плаќа 1000 ден. за секое стрелање, а добива 1000 ден. кога ќе ја погоди целта. Престанува да стрела кога ќе ја погоди целта, но стрела максимум 5 пати. Колку му е просечно плаќање/добивка?

Претставување на геометриска распределба со Геогебра

За графички приказ на PDF-от, т.е. Законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на геометриска распределба може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.^[6]

Дефиниции специфични за геометриската распределба се:

p=0,8  (или соодветен лизгач)

N=20  (наш избор бидејќи Х има безброј многу елементи; за помали p треба поголем N)

list1=Sequence[k,k,1,N]   Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.

list2=Sequence[ p (1 - p)^(k-1), k, 1, N]   Ја дефинира list2 со веројатностите.

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на кирилица и латиница) се:

листа1=Низа[k,k,1,N]

листа2=Низа[p (1 - p)^(k-1), k, 1, N]

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).