Идентитет (математика)

Идентитет — еднаквост што го поврзува математичкиот израз А со математичкиот израз Б, така што А и Б (кои може да содржат некои променливи) произведуваат иста вредност за сите вредности на променливите во даден домен на дискурсот. Со други зборови, A = B е идентитет ако A и B ги дефинираат истите функции, а идентитетот е еднаквост помеѓу функциите што се различно дефинирани. На пример, ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ и ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$ се идентитети.^[1] Идентитетите понекогаш се означуваат со симболот за троен знак за еднаквост ( ≡ ), наместо знакот за еднаквост ( = ).^[2] Формално, идентитетот е универзално квантифицирана еднаквост.

Визуелен доказ за Питагоровиот идентитет: за кој било агол ${\displaystyle \theta }$, точката ${\displaystyle (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ лежи на единичната кружница, што ја задоволува равенката ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$, значи, ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$.

Заеднички идентитети

Алгебарски идентитети

Одредени идентитети, како на пр ${\displaystyle a+0=a}$ и ${\displaystyle a+(-a)=0}$, ја образуваат основата на алгебрата,^[3] додека другите идентитети, како на пример ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ и ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$, може да бидат корисни за поедноставување на алгебарските изрази и нивно проширување.^[4]

Тригонометриски идентитети

Геометриски, тригонометриски идентитети се идентитети кои вклучуваат одредени функции на еден или повеќе агли.^[5] Тие се разликуваат од идентитетите на триаголникот, кои се идентитети кои ги вклучуваат и аглите и должините на страните на триаголникот. Само првите се опфатени во оваа статија.

Овие идентитети се корисни секогаш кога изразите што вклучуваат тригонометриски функции треба да се поедностават. Друга важна апликација е интегралот на нетригонометриски функции: вообичаена техника која вклучува прво користење на правилото за замена со тригонометриска функција, а потоа поедноставување на добиениот интеграл со тригонометриски идентитет.

Еден од најистакнатите примери на тригонометриски идентитети ја вклучува равенката ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$ што е точно за сите реални вредности на ${\displaystyle \theta }$. Од друга страна, равенството

${\displaystyle \cos \theta =1}$

важи само за одредени вредности ${\displaystyle \theta }$, и не сите. На пример, оваа равенка е точно кога ${\displaystyle \theta =0,}$ но неточно кога е ${\displaystyle \theta =2}$.

Друга група на тригонометриски идентитети се однесува на таканаречените формули за собирање/одземање (на пример идентитетот со двоен агол ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$, формулата за додавање за ${\displaystyle \tan(x+y)}$ ), што може да се користи за да се разделат изразите на поголемите агли на оние со помали конституенти.

Степенувани идентитети

Главна статија: Степенување

Следниве идентитети важат за сите цели броеви, под услов основата да не е нула:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

За разлика од собирањето и множењето, степенувањето не е комутативно. На пример, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6, но 2³ = 8 додека 3² = 9.

Исто така, за разлика од собирањето и множењето, степенувањето исто така не е асоцијативно. На пример, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, но 2 ³ до 4 е 8 ⁴ (или 4,096 ) додека 2 до 3 е ⁴ 2 ⁸¹ (или 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Кога не се напишани загради, конвенцијата е од врвот до дното, а не од дното кон врвот:

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$ доц ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

Логаритамски идентитети

Неколку важни формули, кои понекогаш се нарекуваат логаритамски идентитети или логаритамски закони, ги поврзуваат логаритмите еден со друг:^{[б 1]}

Производ, количник, степен и корен

Логаритмот на производот е збир од логаритмите на броевите што се множат; логаритамот на односот на два броја е разликата на логаритмите. Логаритмот p на таа моќност на бројот е p пати поголем од логаритамот на самиот број; логаритамот p на тој корен е логаритам на бројот поделен со p Следната табела ги наведува овие идентитети со примери. Секој од идентитетите може да се изведе по замена на дефинициите за логаритми ${\displaystyle x=b^{\log _{b}x},}$ и/или ${\displaystyle y=b^{\log _{b}y},}$ лево.

	Формула	Пример
производ	${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
количник	${\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	${\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}$
степен	${\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
коренот	${\displaystyle \log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

Промена на основата

Логаритмот log _b ( x ) може да се пресмета од логаритмите на x и b во однос на произволна основа k користејќи ја следната формула:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.}$

Типичните научни калкулатори пресметуваат логаритми врз основа на 10 и e.^[6] Логаритмите во однос на која било основа b може да се одредат со користење на кој било од овие два логаритми според претходната формула:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.}$

Даден е број x и неговиот логаритам log_b(x) на непозната основа b, основата е дадена со:

${\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}$

Идентитети на хиперболични функции

Хиперболичните функции задоволуваат многу идентитети, и сите од нив се слични по облик на тригонометриски идентитети. Всушност, правилото на Озборн ^[7] вели дека може да се претвора кој било тригонометриски идентитет во хиперболичен идентитет со целосно проширување во однос на целобројните сили на синус и косинус, менување на синус во синх и косинус во кош и менување на знакот на секој член. кој содржи производ од парен број хиперболични синуси.^[8]

Гудермановата функција дава непосредна врска помеѓу тригонометриските и хиперболичните функции што не вклучува комплексни броеви.

Логика и универзална алгебра

Формално, идентитетот е вистинска универзално квантифицирана формула на формата ${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,}$ каде што s и t се термини без други слободни променливи освен ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$ Префикс на квантификатор ${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}}$ често останува имплицитно, кога формулата се наведува дека е идентитет. На пример, аксиомите на моноидите често се дадени како формули

${\displaystyle \forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,}$

или накратко,

${\displaystyle x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.}$

Значи, овие формули се идентитети во секој моноид. Како и кај секоја еднаквост, формулите без квантификатори често се нарекуваат равенки. Со други зборови, идентитетот е равенка која е точна за сите вредности на променливите.^[9][10]