Триаголник

Триаголник — геометриски лик (геометриска фигура) со три темиња, три страни и три внатрешни агли.^[1][2][3]

Рамностран триаголник
Правилен триаголник
Вид	правилен многуаголник
Рабови и темиња	3
Шлефлиев симбол	{3}
Коксетер–Динкинови дијаграми
Група на симетрија	диедарска (D3), ред 2×3
Внатрешен агол	60°
Својства	испакнат, впишан, рамностран, изогонален, изотоксален

Основни правила:

• Триаголник е прост многуаголник, т.е. е затворена фигура, неговите страни не се прекрстуваат и е испакнат.
• Збирот на внатрешните агли на секој триаголник е 180^o.^[4] Значи, знаејќи ги големините на два од трите внатрешни агли, може да се пресмета големината на третиот агол.

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$.

• Во Евклидовата геометрија три точки одредуваат триаголник, т.е. триаголник е потполно определен знаејќи ги координатите на 3-те темиња, односно должините на неговите три страни.

Триаголници во светот

Триаголникот е наjстабилната сводимензионална фигура бидејќи тој е потполно определен со должините на неговите три страни. Поради тоа триаголници имаат посебно место во градежништво. Слабите точка во конструкција се темињата каде што се прицврстуваат два линиски делови. Под влијание на сила - доколку можат - најпрво деловите меѓусебно ќе се заротираат во темето на прицврстување сметајќи го аголот помеѓу нив. Кај триаголник деловите никако не можат да се заротираат бидејќи должините на страните ги определуваат аглите. Значи, треба да се деформираат страните пред да се менуваат аглите. Од друга страна, четириаголник не е стабилна. На пример, постојат безбројно многу четириаголници со истите четири еднакви страни (еден од кој е квадрат, а другите се ромбови). Значи, без воопшто да се деформираат самите страни, квадрат може да се сплеска во ромб заротирувајќи ги страните кај темињата.^[5]

Триаголници во конструкција	Стабилноста на триаголник споредена со стабилноста на квадрат.

Збирот на внатрешните агли на триаголник е 180°. Создаден со Геогебра[6]

Формули и особини за триаголник

• Нека страните на еден триаголник се означeни a, b и c, а истовремено ги користиме овие букви и за нивната должина.

Означување на темиња и агли

Стандардно е:

• Темето спротивно на страната a да се означува со A (голема буква), а внатрешниот агол со темето А да се означува со грчката буква α.
• Темето спротивно на страната b да се означува со B (голема буква), а внатрешниот агол со темето B да се означува со грчката буква β.
• Темето спротивно на страната c да се означува со C (голема буква), а внатрешниот агол со темето C да се означува со грчката буква γ.

Висина h на триаголник

Главна статија: Висина на триаголник

• Навистина, триаголник има три висини: h_a, h_b и h_с (види ја сликата подолу).

Меѓутоа, обичајно е во елементарната геометрија да триаголник има основа, т.е. да има долна хоризонтална страна и таа страна да се означува со b (основа англиски: base). Темето B е спротивно на основата b. Висината h е отсечката од точката B до таа точка на основата b таква што h e нормална, т.е. прави прав агол со страната b. Значи h е висина на триаголник со основа b.

Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. ½ · b · h = ½ × b × h

Висина h од основата b до темето B.

Периметар е збир на должините на трите страни

${\displaystyle L=a+b+c}$

Плоштина е:^[7]

• Една половина од основата помножена со висината

Тогаш висината h_b се означува само со h, т.е. h е висина на триаголник со основа b.

${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}\cdot b\cdot h}$.

• Херонова формула

${\displaystyle P={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}$.   каде што  ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {L}{2}}}$ е полуобемот.

Дијагонала: Триаголник нема дијагонали бидејќи секоја отсечка која сврзува две темиња е страна на самиот триаголник.

Пример: Нека е даден триаголник со страна a=5 км, b=7 км и c=9 км. Тогаш, периметарот e L=a+b+c=5 км+7 км+9 км=21 км. За плоштината (бидејќи нема висина) ја користиме Херонова формула: s=^L/₂=10,5 км. P²=10,5·5,5·3,5*1,5. Значи, P ≈ 17,41 км².

Пример: Нека е даден триаголник со основа b=12mm и висина h=5mm. Тогаш плоштината е P= ½b·h= ½ 12mm·5mm=30mm².

Забелешка: Во вториот пример погоре не може да се пресмета периметарот бидејќи нема доволно информации! Триаголник не е потполно определeн со основа и висина, т.е. постојат безбројно многу триаголници со истата основа и висина, а различни страни (па затоа и различни периметри). На пример: Двата триаголници Т1 и Т2 ја имаат истата основа b=12mm и истата висина h=5mm. Значи ја имаат истата плоштина P=30mm². Меѓутоа, имаат различни периметри.

Т1 со a=5mm, b=12mm и c=13mm и Т2 со a = c = ½ √61mm и b=12mm

Видови триаголници

Според должините на нивните страни

Триаголниците можат да бидат класифицирани според должините на нивните страни:

• Рамностран триаголник: сите страни се еднакви по должина. Страните се означуваат со буквата a.

• Трите внатрешни агли α се еднакви, α= 60° = ^π/₃ ≈ 1,05.^[8]

• Трите висини се еднакви. Висината е h=a · ^√3/₂ ≈ 0,866a.

• Периметарот е: L=a+a+a = 3·а.

• Плоштината е:^[9] P=a² · ^√3/₄ ≈ 0,43366a².

• Сите рамностран триаголници се слични.

• Рамностран триаголник е правилен многуаголник.

• Рамнокрак триаголник: најмалку две страни се со еднаква должина наречени краци, а третата нееднаква на нив страна е наречена основа. Двете еднакви страни се означуваат со a, а основата со b.

• Двете внатрешни агли α формирани помеѓу еднаква страна и основата се еднакви и α = 90° − ^β/₂^[10]

• Висината h=h_b = √4a²-b²

• Периметарот е: L=a+a+b = 2·а+b.

• Плоштината е: P=b· ^√4a²-b²/₄

• Разностран триаголник: сите страни имаат различни должини.

• Трите внатрешни агли имаат различна големина.

• Најмалиот агол е спротивен на најмалата страна.^[11]

• Најголемиот агол е спротивен на најголемата страна.

Рамностран	Рамнокрак	Разностран

Според внатрешните агли

Триаголниците можат да бидат класифицирани и според големината на нивниот најголем внатрешен агол, опишано подолу со користење на степени.

• Правоаголен триаголник има еден внатрешен агол од 90° (прав агол).

• Страната спроти правиот агол се нарекува хипотенуза; тоа е најдолгата страна во правоаголниот триаголник и се означува со c.

• Другите две страни се викаат катети и се означувани со a и b.

• a² + b² = c² Питагорова теорема

• Периметарот е: L = a+b+c.

• Плоштината е: P = ½ · a · b.^[12]

• Тапоаголен триаголник има еден внатрешен агол поголем од 90° (таквиот агол се нарекува тап агол).
• Остроаголен триаголник има внатрешни агли кои се помали од 90° (три остри агли).

Правоаголен	Тапоаголен	Остроаголен

Трите висини на разностран триаголник

Разностран триаголник има три различни висини. Секоја висина е отсечка со почетната точка во едното теме, крајната точка на спротивната страна и нормална на таа страна. Бидејќи плоштината на еден триаголник е иста, следува

${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}a\cdot h_{a}={\tfrac {1}{2}}b\cdot h_{b}={\tfrac {1}{2}}c\cdot h_{c}}$

Висината до страна a	Висината до страна b	Висината до страна c

Впишана кружница на триаголник

Симетрали на внатрешните агли

• Симетралите на внатрешните агли на триаголник се сретнуваат во една точка.^[13][14]
• Секој триаголник има впишана кружница, т.е. кружница која е внатре во триаголникот, а се допира на сите три страни на триаголникот, т.е. трите страни се тангенти на кружницата (види слика долу).^[15][16]

Формула: Центарот на впишаната кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли, а полупречникот r на впишаната кружница е растојанието од центарот до која било страна и има должина:

${\displaystyle r={\frac {2P}{L}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}$

Центарот на впишана кружница е пресекот на симетралите на внатрешни агли	Впишана кружница на триаголник	Тежиште како пресек на тежишните линии (медијаните)

Опишана кружница на триаголник

Опишана кружница со Геогебра

Симетрали на страните

• Симетралите на страните на триаголник се сретнуваат во една точка.^[17][18] (Симетрала на отсечка е права која врви низ средната точка на отсечката и е нормална на отсечката.)
• Секој триаголник има опишана кружница, т.е. кружница која е надвор од триаголникот, а трите темиња на триаголникот лежат на кружницата.^[16][19]

Формула: Центарот на опишаната кружница е пресекот на симетралите на страните, а полупречникот R на опишаната кружница е растојанието од центарот до кое било теме и има должина:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4P}}}$

Тежишни линии и тежиште

Во геометријата, тежишна линија на триаголник е отсечка која поврзува теме од триаголникот со средната точка на страна спротивна на тоа теме. Друг термин за тежишна линија е медијана.^[20] Трите медијани се сретнуваат во една точка.^[21] Оваа заедничка точка се вика тежиште или центроид и е центарот на маса на триаголникот (ако врземе конец низ оваа точка и го обесиме триаголникот, тој ќе лежи хоризонтално).

Триаголник во координатен систем

Три точки еднозначно определуваат триаголник, т.е. триаголник е потполно определен со координатите на три точки. Истовремено, доколку се работи во 3-димензионален простор, трите точки определуваат и рамнина на која лежи определениот триаголникот (види аналитичка геометрија).

Плоштина на триаголникот определен со три точки во рамнина може да се пресметува на повеќе начини (сите формули се меѓусебно се поврзани).

Точките нека се:   ${\displaystyle A=(x_{1},y_{1})\,,\,\,B=(x_{2},y_{2})\,,\,\,C=(x_{3},y_{3})}$.

${\displaystyle \pm P={\tfrac {1}{2}}\,\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{2}}-{x_{1}}}&{{y_{2}}-{y_{1}}}\\{{x_{3}}-{x_{1}}}&{{y_{3}}-{y_{1}}}\end{array}}\right|}$

т.е. детерминантата на соодветните полупречнички вектори (произволно земајќи ја точката А како почетна точка). Знакот ± значи дека се земе апсолутна вредност од резултатот (плоштина е секогаш позитивна вредност). Оваа формула се обопштува во тридимензионален простор (види аналитичка геометрија, векторски производ,..).^[22]

Со Херонова формула користејќи: ${\displaystyle a={\sqrt {(x_{3}-x_{2})^{2}+y_{3}-y_{2})^{2}}}\,,\,\,b={\sqrt {(x_{1}-x_{3})^{2}+y_{1}-y_{3})^{2}}}\,,\,\,c={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+y_{2}-y_{1})^{2}}}}$

Пример: Триаголник е дефиниран со точките A=(-2,-2), B=(1,-1) и С(1,2). Плоштината е ±P=

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{2}}-{x_{1}}}&{{y_{2}}-{y_{1}}}\\{{x_{3}}-{x_{1}}}&{{y_{3}}-{y_{1}}}\end{array}}\right|={\tfrac {1}{2}}\cdot \left|{\begin{array}{*{20}{c}}{1-(-2)}&{-1-(-2)}\\{1-(-2)}&{2-(-2)}\end{array}}\right|={\tfrac {1}{2}}\cdot \left|{\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\3&4\end{array}}\right|={\tfrac {1}{2}}\cdot (12-3)={\tfrac {1}{2}}\cdot 9=4,5}$

Резултатот е позитивен. Значи нема потреба од апсолутна вредност. Следува, P=4,5 (квадратни единици).

Дегенерирани триаголници

Ако трите темиња со кои се дефинира триаголникот се колинеарни, т.е. лежат на истата права, тогаш формираниот триаголник е дегенириран триаголник, т.е. дегенерираниот триаголник е сплескан триаголник и неговата плоштина е 0.

Регулатива: Еден триаголник има плоштина 0, ако и само ако трите негови темиња се колинеарни.

• Ако трите точки се посебни, внатрешните агли се 180^o, 0^o, и 0^o, земајќи го аголот од 180^o кај „средната“ точка.
• Ако точно две од трите темиња се истата точка, триаголникот се смета за правоаголен триаголник и внатрешните агли се 90^o, 90^o, и 0^o. Вакви дегенерирани триаголници се наоѓаат при цртање на правоаголни триаголници во единичната кружница при празен 0^o, прав 90^o, рамен 180^o, негативен прав агол 270^o и полн 360^o агол и вредноста на тригонометриските функции на овие агли се пресметуваат користејќи ги овие дегенерирани триаголници.
• Случајот каде што трите точки се совпаѓаат не е многу интересен.

Пример: Темињата на еден триаголник се (1,1),(-2,0) и (7,3). Плоштината е ±P=

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{2}}-{x_{1}}}&{{y_{2}}-{y_{1}}}\\{{x_{3}}-{x_{1}}}&{{y_{3}}-{y_{1}}}\end{array}}\right|={\tfrac {1}{2}}\cdot \left|{\begin{array}{*{20}{c}}{-2-1)}&{0-1)}\\{7-1}&{3-1}\end{array}}\right|={\tfrac {1}{2}}\cdot \left|{\begin{array}{*{20}{c}}-3&-1\\6&2\end{array}}\right|={\tfrac {1}{2}}\cdot (-6+6)={\tfrac {1}{2}}\cdot 0=0}$

Следува, P=0. Значи, точките се колинеарни и триаголникот е дегенириран. (Трите точки лежат на правата: y=⅓(x+2).)

Триаголникот како мотив во уметноста

• „Мудар триаголник“ (српски: Мудри троугао) — песна на српскиот поет Васко Попа.^[23]

Поврзано

• Рамностран триаголник
• Рамнокрак триаголник
• Правоаголен триаголник
• Складност на триаголници
• Сличност на триаголници
• Правоаголник
• Квадрат
• Кружница
• Многуаголник