Координатен систем

систем што ја опишува точната положба на една точка или друг геометриски елемент From Wikipedia, the free encyclopedia

Remove ads

Координатен систем — систем во геометријата што користи еден или повеќе броеви наречени координати за точно утврдување на положбата на некоја точка или друг геометриски елемент на некое многуобразие како што е Евклидовиот простор.[1][2] Редоследот на координатите е важен бидејќи често се утрдуваат по нивната положба во подредена кратност или по буква „координата x“. Во елементарната математика, координатите се сметаат за реални броеви, но можат да бидат и комплексни или елементи на поапстрактен систем како комутативен прстен. Координатите имаат важна примена, бидејќи овозможуваат геометриските проблеми да се преведат во бројчени и обратно. Ова е основата на аналитичката геометрија.[3]

Remove ads

Бројна оска

Најпростиот пример за координатен систем е бројната оска. Во овој систем има права линија (оска) се зема произволна точка O наречена „почеток“. Координатата на точка Т е определена од растојанието од O до Т, кое може да биде позитивно или негативно, зависно од тоа на која страна од почетокот лежи точката Т. Секоја точка има своја координата, и секој реален број е координата на таа точка.[4]

Бројна оска
Бројна оска
Remove ads

Декартов координатен систем

Thumb
Декартовиот координатен систем на рамнина.
Thumb
Правоаголни координати

Прототипен пример за координатен систем е Декартовиот координатен систем, наречен и „правоаголен координатен систем“. Во овој систем се одбираат две нормални прави на рамнина и координатите се означени како оддалеченоста од местото во кое се сечат (почетокот). Во тридимензионалната варијанта на истиот начин се одбираат три нормални рамнини и одделеченоста на координатата на секоја од тие рамнини може да ја претставуива секоја точка n во просторот.

Во зависност од насоката и редоследот на координатната оска, системот може да биде деснорак или леворак.

Remove ads

Поларен координатен систем

Друг чест систем за координати на рамнина е поларниот. Во него, се става точка на „полот“ и од оваа точка се повлекува зрак (линија) која ќе бида поларна оска. За даден агол θ, постои една линија низ полот чијшто агол со поларната оска е θ (измерен налево од оската до линијата). Потоа на оваа линија има дадена точка со растојание r од почетокот за даден број r. За даден пар координати (r, θ) постои една точка, но секоја точка е претставена со многу парови координати. На пример, (r, θ), (r, θ+2π) и (−r, θ+π) се поларни координати на една иста точка. Полот е претставен со (0, θ) за секоја вредност на θ.

Цилиндричен и сферен координатен систем

Постојат два позастапени начина на пренесување на поларниот координатен систем во три димензии. Кај цилиндричниот координатен систем, на поларните координати r и θ им се додава координата z. Сферниот систем оди понатаму, претворајќи пар цилиндрични коорднати (r, z) во поларни (ρ, φ), добивајќи тројка (ρ, θ, φ)

Remove ads

Еднородни координати

Една точка на рамнина може да се претстави во еднородни (хомогени) координати, со тројката (x, y, z), каде x/z и y/z се Декартовите координати на точката. Тука се воведува трета координата (инаку за претставување на точката на рамнина се потребни само две) за претставување на точка на проективната рамнина без поѕтреба на бесконечност. Начелно земено, еднородни координати се оние кајшто имаат важност само соодносите на координатите, а не нивните фактички вредности.

Remove ads

Преод од еден во друг координатен систем

Бидејќи постојат многу различни координатни системи за опишување на геометриските фигури, важно е да се познаваат односите помеѓу нив. Овие односи се опишуваат со координатни преоди или трансформации кои даваат формули за координатите на еден систем изразени преку координатите на друг. На пример, на рамнината, Декартовите координати (x, y) и поларните координати (r, θ) имаат ист почеток, а поларната оска е позитивната x-оска, тогаш преодот од поларни во Декартови координати ќе биде x = r cosθ и y = r sinθ.

Remove ads

Координатни криви и површини

Thumb
Координатни површини во сферниот координатен систем

Доколку, во две димензии, сите освен една координата се постојани, а една може да се менува, тогаш добиваме крива наречена координатна крива (понекогаш наречена „координатна линија“). Ова не важи за сите системи, особено не во еднообразниот. Во Декартовиот систем, координатните криви се всушност прави, напоредни на една од оските. Во други системи, координатната крива може да е општа крива. На пример, координатните криви кај поларниот систем добиени со постојана r се кружници со центар во координатниот почеток. Во Евклидовиот простор, координатните системи освен Декартовиот се нарекуваат криволиниски координатни системи.[5]

Во тридимензионален простор, ако една координата се земе за постојана, а останатите се променливи, тогаш добиената површина се нарекува координатна површина. На пример, координатните површини добиени при постојана ρ во сферниот координатен систем се сферите со центар во координатниот почеток. Во тридимензионален, простор, пресекот на две координатни површини е координатна крива. Координатните хиперповршини се определуваат на тој начин, но со повеќе димензии.[6]

Remove ads

Смена на координати

Во геометријата и кинематиката, координатните системи на се користат само за изразување на (линиската) положба на точките, туку и за опишување на аголната положба на оските, рамнините и апсолутно тврдите тела. Во вториот случај, насоченоста на втор (наречен „месен“) координатен систем, приврзана за јазол, се дефинира врз основа на првиот (наречен „глобален“ или „светски“) координатен систем. На пример, насоченоста на едно тврдо тело може да се претстави со матрица на насоченост, која во трите колони ги опфаќа Декартовите координати на трите точки. Овие точки ја определуваат насоченоста на оската на месниот систем и претставуваат краеви на три единични вектори порамнети со тие оски.

Remove ads

Поврзано

Наводи

Надворешни врски

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads