Косеканс

Косеканс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и спротивната катета во правоаголен триаголник.^[1] Косекансот е реципрочна вредност од синус.

Косеканс
y(x)=cosec(x)
Основни особини
Домен	(k,(k+2)π)
Кодомен	(-∞,-1] и [1,∞)
Паритет	непарна
Периода	2π
Одредени вредности
Асимптота	kπ
Други особини
Извод	- cosec²(x)/sec(x)
к е цел број

Дефиниција

Дефиницијата гласи:

${\displaystyle \operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\sin x}}}$

Врската со секанс е

${\displaystyle \operatorname {cosec} \;x=\operatorname {sec} \,(x-\pi /2)}$

Како и останатите тригонометриски функции и косекансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Косеканс е однос на хипотенузата и спротивната катета.

${\displaystyle \operatorname {sec} \;\theta ={\frac {h}{a}}}$ Тригонометриски триаголник

На тригонометрискиот круг вредноста на косекансот е еднаква на големината на следната должина

${\displaystyle \csc \theta ={\overline {OE}}}$ Првиот квадрант од единична кружница

Некои карактеристични вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијани	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$
${\displaystyle \sec \theta \,}$	${\displaystyle \infty \;}$	${\displaystyle 2\;}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1\;}$

Претставување на функцијата

Функцијата може да се претстави во следниот вид:

${\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{x}}-2x\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,x}{x^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}}$

Особини на функцијата

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

• Дефинициона област на функцијата:

функција е дефинирана во множеството реални броеви ${\displaystyle \mathbb {R} }$, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви

${\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad$ ;\quad x\neq \left(n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }

• Област на вредностите на функцијата:

функцијата зема вредности во опсег на реалните броеви, освен во областа -1 до 1

${\displaystyle -\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty }$

• Парност

функција е непарна

${\displaystyle \operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)}$

• Периодичност

функцијата е периодична со основна периода 2π

${\displaystyle \operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)}$

• Асимптоти

функцијата има вертикални асимптоти во точките

${\displaystyle x=\left(n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }$

функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти

• Нули на функцијата

функцијата нема нули

• Монотоност на функцијата
• Екстреми

нема глобален екстрем

локален минимум

${\displaystyle \operatorname {cosec} ((2n+1/2)\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }$

локален максимум

${\displaystyle \operatorname {cosec} ((2n-1/2)\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }$

• Превојни точки

функцијата нема превојни точки

Извод од функцијата

Првиот извод од функцијата е

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {1} }{\sin(x)}}={\frac {-\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc(x)\cdot \cot(x)=-{\frac {\csc ^{2}(x)}{\sec(x)}}}$

Интеграл

Неодредениот интеграл на функцијата е

${\displaystyle \int \csc(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|+C}$

Комплексен аргумент

${\displaystyle \csc(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}}$   mit ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$