Секанс

Секанс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и катетата што прилежи кон дадениот агол.^[1]

Секанс
y(x)=sec(x)
Основни особини
Домен	(-π/2+kπ,π/2+kπ), k од Z
Кодомен	(-∞,1] и [1,∞)
Паритет	парна
Периода	2π
Одредени вредности
Асимптота	(k + 1/2)π
Други особини
Извод	sec²(x)/cosec(x)

Дефиниција

Дефиницијата гласи:

${\displaystyle \operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\cos x}}}$

Врската со косеканс е

${\displaystyle \operatorname {sec} \;x=\operatorname {cosec} \,(\pi /2-x)}$

додека Питагоровиот идентитет, идентитет заснован на Питагоровата теорема, која ги поврзува тригонометриските функции е

${\displaystyle 1+\tan ^{2}(\alpha )=\operatorname {sec} ^{2}(\alpha )}$

Како и останатите тригонометриски функции и секансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Секанс е однос на хипотенузата и налегнатата катета.^[2]

${\displaystyle \operatorname {sec} \;\theta ={\frac {h}{b}}}$ Тригонометриски триаголник

На тригонометрискиот круг вредноста на секансот е еднаква на големината на следната должина

${\displaystyle \sec \theta ={\overline {OB}}}$ Првиот квадрант од единична кружница

Некои карактеристични вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијани	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$
${\displaystyle \sec \theta \,}$	${\displaystyle 1\;}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2\;}$	${\displaystyle \pm \infty \;}$

Претставување на функцијата

Претставување на функцијата во вид на Тејлоров ред во околината на точката ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \qquad {\textrm {za}}\ |x|<{\frac {\pi }{2}}}$

Односно обопштено

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ за }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

каде ${\displaystyle E_{k}\!}$ во формулата е Ојлерови броеви.

Исто така можно е функцијата да се претстави во следниот вид:

${\displaystyle \sec(x)=\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(8k+4)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

Особини на функцијата

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

• Дефинициона област на функцијата:

функција е дефинирана во множеството реални броеви ${\displaystyle \mathbb {R} }$, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви

${\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad$ ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }

• Област на вредностите на функцијата:

функцијата зема вредности во опсег на реалните броев, освен во областа -1 до 1

${\displaystyle -\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty }$

• Парност

функција е парна

${\displaystyle \operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)}$

• Периодичност

функцијата е периодична со основна периода 2π

${\displaystyle \operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)}$

• Асимптоти

функцијата има вертикални асимптоти во точките

${\displaystyle x=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }$

функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти

• Нули на функцијата

функцијата нема нули

• Монотоност на функцијата
• Екстреми

нема глобален екстрем

локален минимум

${\displaystyle \operatorname {sec} (2n\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }$

локален максимум

${\displaystyle \operatorname {sec} ((2n+1)\cdot \pi )=-1\,;\,n\in \mathbb {Z} }$

• Конвексност и конкавност на функцијата

функција е конвексна во интервалот

${\displaystyle -\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }$

функцијата е конкавна во интервалот

${\displaystyle \pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }$

• Превојни точки

функцијата нема превојни точки

Извод од функцијата

Првиот извод од функцијата е

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sec} (x)=\operatorname {sec} (x)\cdot \tan(x)={\frac {\operatorname {sec} ^{2}(x)}{\operatorname {cosec} (x)}}}$

Интеграл

Неодредениот интеграл на функцијата е

${\displaystyle \int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}}\right|=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}}$

Историја

Скратеницата sec првпат се појавува во 1626 година во книгата на Албер Жерар за тригонометрија.^[3]