Котангенсна теорема

Котангенсна теорема^[1] – во тригонометријата оваа теорема е однос помеѓу должината на секоја од страните на даден триаголник и котангенсот од половинката од аглот наспроти страната.

Триаголник заедно со впишаната кружница во него и поделбата на страните. Симетралите на аглите се сечат во центарот на впишаната кружница.

Според горното резонирање, прикажани се сите шест дела.

Слично како што во синусната теорема размерот на секоја страна и синусот на аголот наспроти неа е еднаков на пречникот на опишаната кружница околу триаголникот (или нивните реципрочни вредности, во зависност од тоа како теоремата е изразена), котангенсната теорема е врска помеѓу полупречникот на впишаната кружница во триаголникот и неговите страни и агли.

Тврдење

Ако ги користиме вообичаените ознаки за триаголник при што (види ја сликата горе десно): ${\displaystyle a,b,c}$ се должините на трите страни на триаголникот, ${\displaystyle A,B,C}$ се темињата спротивни на соодветните страни, ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ се соодветните агли при овие темиња, ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$ е полуобемот на триаголникот и ${\displaystyle r}$ е полупречник на впишаната кружница, тогаш котангенсната теорема гласи

${\displaystyle {\frac {{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}\,.}$

Полупречникот на впишаната кружница е даден со

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.}$

Доказ

На горната слика, допирните точки на впишаната кружница со страните на триаголникот го делат периметарот на триаголникот на 6 отсечки. Овие отсечки може да се поделат во 3 пара при што отсечките во секој пар имаат еднакви должини. На пример, двете отсечки на кои крајна точка им е темето A се еднакви. Ако се земе по една отсечка од секоја пар, нивниот збир е еднаков на полуобемот s. Пример за ова се отсечките во боја прикажани на сликата. Двете отсечки кои ја чинат црвената линија имаат збир ${\displaystyle a}$, па сината отсечка мора да има должина ${\displaystyle s-a}$. Очигледно, другите пет отсечки мора да имаат должини ${\displaystyle s-a}$, ${\displaystyle s-b}$ или ${\displaystyle s-c}$ (како што е прикажано на долната слика десно). Од цртежот, користејќи ја дефиницијата за котангенс на агол, се добива

${\displaystyle {\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,.}$

Аналогно се добиваат равенствата и за другите два агла, со што е докажано првото тврдење.

За второто, т.е. за формулата за полупречникот на впишана кружница, се почнува со формулата за котангенс на збир од три агла:

${\displaystyle {\textrm {ctg}}(u+v+w)={\frac {{\textrm {ctg}}(u)+{\textrm {ctg}}(v)+{\textrm {ctg}}(w)-{\textrm {ctg}}(u){\textrm {ctg}}(v){\textrm {ctg}}(w)}{1-{\textrm {ctg}}(u){\textrm {ctg}}(v)-{\textrm {ctg}}(v){\textrm {ctg}}(w)-{\textrm {ctg}}(w){\textrm {ctg}}(u)}}.}$

Применувајќи ја оваа формула на ${\displaystyle {\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}\right)={\textrm {ctg}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}$, се добива дека:

${\displaystyle {\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)-{\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)=0}$

од каде

${\displaystyle {\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)={\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\frac {\gamma }{2}}\right).}$

(ова е важен идентитет за звирот на три котангенси на аглите во триаголник). Со замена на вредностите добиени во првиот дел, се добива:

${\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}$

Множејќи го равенството со ${\displaystyle {\frac {r^{3}}{s}}}$ се добива ${\displaystyle {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}=r^{2}}$. Aко на двете страни се побара квадратен корен, следува второто равенство.

Некои докази со користење на котангенсната теорема

Бројни други резултати може да се изведат од котангенсната теорема.

• Херонова формула. Може да се забележи дека со симетралите на аглите на триаголник ABC, неговата плоштина е поделена на три пара од 6 помали триаголника, при што триаголниците од ист пар имаат еднакви плоштини. На пример, двата триаголника кај темето A, како правоаголни со страна ${\displaystyle s-a}$ и висина кон неа r, имаат плоштини еднакви на ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s-a)r}$. Така, овие два триаголника имаат вкупна површина од ${\displaystyle (s-a)r}$, а плоштината ${\displaystyle P}$ на целиот триаголник е

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\\[8pt]\end{aligned}}}$

Oттука се добива Хероновата формула за плоштина на триаголник изразена преку неговите страни

${\displaystyle P={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

како што се бараше.

• Молвајдеoва прва формула. Од формулата за синус од збир и разлика и котангенсната теорема се добива

${\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}$ Ова го дава резултатот

${\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$ познат како прва Мовајдеова формула.

• Молвајдеoва втора формула. Од формулата за собирање и котангенсната теорема се добива

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {{\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+1}{{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right){\textrm {ctg}}\left({\frac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {{\textrm {ctg}}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+{\textrm {ctg}}\left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}$

Тука се бара еден дополнителен чекор за да се преобрази производот во збир, согласно формулата за збир/производ на котангенси.

Ова го дава резултатот

${\displaystyle {\dfrac {a+b}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$ познат како втора Мовајдеова формула

• Од котангенсната теорема може да се изведе тангенсната теорема (Silvester 2001, стр. 99 harv error: no target: CITEREFSilvester2001 (help)).

Поврзано

• Синусна теорема
• Косинусна теорема
• Тангенсна теорема
• Молвајдеева формула