Синусна теорема

Синусна теорема, синусен закон, синусна формула или синусно правило – равенка во тригонометријата која ги поврзува должините на страните на триаголник (од кој било облик) со синусите на неговите агли. Според теоремата,

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,d,}$

Триаголник означен со компонентите на синусната теорема. Големите A, B и C се аглите, а малите a, b, c се нивните спротивни страни. (a спротивна на A, итн.)

каде ${\displaystyle a,b,c}$ се должините на страните на триаголникот, ${\displaystyle A,B,C}$ се аглите наспроти нив (види ја сликата десно), а ${\displaystyle d}$ е пречникот на опишаната кружница околу триаголникот. Кога последниот дел од равенката не се користи, теоремата формулира преку реципрочните вредности;

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}.}$

Синусната теорема може да се користи за пресметување на преостанатите страни на триаголник кога се познати два негови агла и една страна – техника позната како триангулација. Исто така може да се користи кога се познати две страни и еден од аглите кој не е формиран од тие страни. Во некои вакви случаи, триаголникот не е еднозначно определен со овие податоци (наречен случај на двозначно решение) и се добиваат две можни вредности за аголот меѓу дадените страни.

Синусната теорема е една од двете тригонометриски равенки која често се користи за наоѓање на должини и агли во разнострани триаголници, а втората е косинусната теорема.

Синусната теорема може да се обопшти на поголеми дименизии кај површини со константна закривеност.^[1]

Доказ

Плоштината ${\displaystyle P}$ на триаголник може да се запише како полупроизвод на негова основа и соодветната висина кон неа. Ако се одбере една страна на триаголникот за негова основа, висината на триаголникот кон оваа основа се пресметува како производ на должината на друга страна и синус од аголот помеѓу таа страна и основата. Така, во зависност од изборот на основата, плоштината на триаголникот може да се запише како:

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.}$

Aко ова проширено равенство се помножи со ${\displaystyle {\dfrac {2}{abc}}}$, се добива

${\displaystyle {\frac {2P}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.}$

Случај на двозначно решение на триаголник

Кога се користи синусната теорема за наоѓање на страна на триаголник, постои случај на двозначно решение кога два различни триаголника можат да бидат конструирани од дадените податоци (односно, можни се две решенија на триаголникот). Во долуприкажаниот случај тоа се триаголниците ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle AB'C'}$.

За даден општ триаголник, треба да бидат исполнети следниве услови за да се добие двозначно решение:

• единствената позната информација за триаголникот е аголот ${\displaystyle A}$ и страните ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle c}$.
• аголот ${\displaystyle A}$ е остар агол (односно, ${\displaystyle A<90^{\circ }}$).
• страната ${\displaystyle a}$ е пократка од страната ${\displaystyle c}$ (односно, ${\displaystyle a<c}$).
• страната ${\displaystyle a}$ е подолга од висината ${\displaystyle h}$ кај аголот ${\displaystyle B}$, каде ${\displaystyle h=c\sin A}$ (односно, ${\displaystyle a>h}$).

Ако сите горенаведени услови се исполнети, тогаш секој од аглите ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle C'}$ дава валиден триаголник, што значи дека се точни:

${\displaystyle C'=\arcsin {\frac {c\sin A}{a}}{\text{ или }}C=\pi -\arcsin {\frac {c\sin A}{a}}.}$

Оттука, ако се бара, може да се најдат соодветните вредности на ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle {b}}$ или ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle b'}$, каде ${\displaystyle {b}}$ е страната меѓу аглите ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$, a ${\displaystyle b'}$ e ограниченa со ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C'}$.

Без дополнителна информација не е можно да се реши кој триаголник се бара.

Примери

Подолу се дадени примери на решавање на проблем со користење на синусната теорема.

Пример 1

Во триаголник се дадени страната ${\displaystyle a=20}$, страната ${\displaystyle c=24}$ и аголот ${\displaystyle C=40^{\circ }}$. Се бара аголот ${\displaystyle A}$.

Користејќи ја синусната теорема, може да се закучи дека

${\displaystyle {\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}}$

од каде

${\displaystyle A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32{,}39^{\circ }.}$

Треба да се забележи дека потенцијалното решение ${\displaystyle A\approx 147,61^{\circ }}$ е исклучено бидејќи тоа би дало ${\displaystyle A+B+C>180^{\circ }}$.

Пример 2

Ако должините на две страни ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle {b}}$ на триаголникот се еднакви на ${\displaystyle x}$, должината на третата страна е ${\displaystyle c}$, а аглите спротивни на страните со должини ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle {b}}$ и ${\displaystyle c}$ се ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ соодветно, тогаш

${\displaystyle {\begin{aligned}&A=B={\frac {180^{\circ }-C}{2}}=90^{\circ }-{\frac {C}{2}}\\[6pt]&\sin A=\sin B=\sin \left(90^{\circ }-{\frac {C}{2}}\right)=\cos \left({\frac {C}{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin C}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {x}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}{\sin C}}=x\end{aligned}}}$

Врска со опишаната кружница

Вредноста на трите дропки во идентитетот

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},}$

е еднаква на пречникот на опишаната кружница околу ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$. Овој резултат бил познат уште од времето на Птоломеј.^[2][3]

Изведување на односот на синусна теорема еднаков на пречникот на опишана кружница. Треба да се забележи дека триаголниког ADB минува низ центарот на опишаната кружница.

Доказ

Како што е покажано на сликата, нека во кржница е впишан триаголникот ${\displaystyle \bigtriangleup ABC}$ и триаголникот ${\displaystyle \bigtriangleup ADB}$ кој поминува низ центарот на кружницата ${\displaystyle O}$. ${\displaystyle \angle AOD}$ формира централен агол од ${\displaystyle 180^{\circ }}$ па следствено ${\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}$. Како ${\displaystyle \bigtriangleup ABD}$ е правоаголен триаголник, имаме

${\displaystyle \sin D={\frac {\text{спротивна катета}}{\text{хипотенуза}}}={\frac {c}{2R}},}$

каде ${\displaystyle R}$ е полупречник на опишаната кружница околу триаголникот.^[3] На аглите ${\displaystyle \angle C}$ и ${\displaystyle \angle D}$ им одговара ист централен агол ${\displaystyle \angle AOB}$, па следствено тие се еднакви: ${\displaystyle \angle C=\angle D}$. Затоа,

${\displaystyle \sin D=\sin C={\frac {c}{2R}}.}$

Со преуредување се добива

${\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin C}}.}$

Повторувајќи го процесот на создавање на ${\displaystyle \bigtriangleup ADB}$ со другите два врва на триаголникот, се добива

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R.}$

Врска со плоштината на триаголникот

Плоштината на триаголник е дадена со ${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$, каде ${\displaystyle \gamma }$ е аголот меѓу страните со должини ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle {b}}$. Со примена на синусната теорема во оваа равенка се добива

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}$

Земајќи го ${\displaystyle R}$ за полупречник на опишаната кружница,^[4]

${\displaystyle P={\frac {abc}{4R}}.}$

Исто така може да се покаже дека равенството имплицира

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2P}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}$

каде ${\displaystyle P}$ е површината на триаголникот и ${\displaystyle s}$ е полуобемот ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

Втората еднаквост дадена погоре лесно ја поедноставува Хероновата формула за плоштина.

Синусната теорема може да се искористи и за изведување на следнава формула за плоштина на триаголник.

Ако со ${\displaystyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}}$ се обележи полузбирот од синусите на аглите, важи ^[5]

${\displaystyle P=d^{2}{\sqrt {S(S-\sin A)(S-\sin B)(S-\sin C)}}}$

каде ${\displaystyle d}$ е пречникот на опишаната кружница: ${\displaystyle d=2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$.

Закривеност

Синусната теорема добива сличен облик во случај на закривени површини.

Сферичен случај

Во сферичниот случај, формулата е:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin \alpha }}={\frac {\sin B}{\sin \beta }}={\frac {\sin C}{\sin \gamma }}.}$

Тука, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ се централните агли во сферата определени со трите лака од сферичниот површински триаголник ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle {b}}$ и ${\displaystyle c}$, соодветно. Со ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {B}}$ и ${\displaystyle {C}}$ се означени површинските агли спротивни на соодветните лаци.

Векторски доказ

Да разгледаме единична сфера со три единични вектора ${\displaystyle {\vec {OA}},{\vec {OB}},{\vec {OC}}}$ со почетоци во координатниот почеток и краеви во темињата на триаголникот. Така, аглите ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \gamma }$ се аглите наспроти ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle {b}}$ и ${\displaystyle c}$, соодветно. Лакот ${\displaystyle BC}$ соодветствува на централен агол со големина a. Воведуваме Декартов координатен систем со ${\displaystyle z-}$оска долж ${\displaystyle {\vec {OA}}}$ и ${\displaystyle xz-}$рамнина која го содржи ${\displaystyle {\vec {OB}}}$ и нека ${\displaystyle {\vec {OB}}}$ формира агол ${\displaystyle c}$ со ${\displaystyle z-}$оската. Векторот ${\displaystyle {\vec {OC}}}$ се проектира на ${\displaystyle {\vec {ON}}}$ на ${\displaystyle xy-}$рамнината и аголот меѓу ${\displaystyle {\vec {ON}}}$ и ${\displaystyle x-}$оската е еднаков на ${\displaystyle A}$. Оттаму, трите вектора имаат координати:

${\displaystyle {\vec {OA}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad {\vec {OB}}={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad {\vec {OC}}={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}$

Тројниот скаларен производ, ${\displaystyle {\vec {OA}}\cdot ({\vec {OB}}\times {\vec {OC}})}$ е зафатнината на паралопипедот образуван од радиус-векторите на темињата на сферичниот триаголник ${\displaystyle {\vec {OA}},{\vec {OB}},{\vec {OC}}}$. Оваа зафатнина е непроменлива за специфичниот координатен систем кој го користиме за претставување на ${\displaystyle {\vec {OA}},{\vec {OB}},{\vec {OC}}}$. Вредноста на мешаниот производ ${\displaystyle {\vec {OA}}\cdot ({\vec {OB}}\times {\vec {OC}})}$ е детерминанта од ред 3 со векторите ${\displaystyle {\vec {OA}},{\vec {OB}},{\vec {OC}}}$ како нејзини колони. Со ${\displaystyle z-}$оска долж ${\displaystyle {\vec {OA}}}$, квадратот од оваа детерминанта е${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {OA}}\cdot ({\vec {OB}}\times {\vec {OC}}))^{2}&=\left(\det \left({\vec {OA}}\cdot ({\vec {OB}}\times {\vec {OC}})\right)\right)^{2}\\[4pt]&=\left({\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}\right)^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Повторувајќи ја оваа пресметка со ${\displaystyle z-}$оската долж ${\displaystyle {\vec {OB}}}$, се добива ${\displaystyle \left(\sin c\sin a\sin B\right)^{2}.}$ Aко пак ${\displaystyle z-}$ се постави долж ${\displaystyle {\vec {OC}}}$ се добива ${\displaystyle \left(\sin a\sin b\sin C\right)^{2}.}$ Со изедначување на овие изрази и со делење со ${\displaystyle \left(\sin a\sin b\sin c\right)^{2},}$ добиваме

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}},}$

каде ${\displaystyle V}$ е зафатнината на паралопипедот формиран од векторите на положба на темињата на сферичниот триаголник.

Лесно е да се види дека за мали сферични триаголници, кога полупречникот на сферата е многу поголем од страните на триаголникот, при граничен премин оваа формула станува синусна формула во рамнина, бидејќи, на пример

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow 0}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=1}$

Истото важи и за ${\displaystyle \sin \beta }$ и ${\displaystyle \sin \gamma }$.

Геометриски доказ

Нека разгледаме единична кружница со:

${\displaystyle {\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}=1}$

Да конструираме точка ${\displaystyle D}$ и точка ${\displaystyle E}$ така што ${\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}$

и да конструираме точка ${\displaystyle A'}$ така што ${\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}$.

Оттука може да се види дека ${\displaystyle \angle ADA'=B}$ и ${\displaystyle \angle AEA'=C}$

Треба да се забележи дека ${\displaystyle A'}$ е проекција на ${\displaystyle A}$ на рамнината ${\displaystyle OBC}$. Значи ${\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}$

Од основна тригонометрија, имаме:

${\displaystyle {\overline {AD}}=\sin c}$, ${\displaystyle {\overline {AE}}=\sin b}$.

Но ${\displaystyle {\overline {AA'}}={\overline {AD}}\sin B={\overline {AE}}\sin C}$

па со нивно комбинирање се добива:

${\displaystyle \sin c\sin B=\sin b\sin C}$

или

${\displaystyle {\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$

Со примена на слично размислување, се добива сферичната синусна теорема:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$

Други докази

Чисто алгебарски доказ може да се изведе од сферичната косинусна теорема. Од идентитетот ${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$ и експлицитниот израз за ${\displaystyle \cos A}$, од сферичната косинусна теорема имаме

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {(1-\cos ^{2}\!b)(1-\cos ^{2}\!c)-(\cos a-\cos b\,\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$

Бидејќи десната страна е непроменлива при циклична пермутација на ${\displaystyle a,\;b,\;c}$ веднаш следува сферичната синусна теорема.

Користената слика за горниот геометриски доказ била користена и дадена во математичкиот весник Банерџи ^[6] (види ја слика 3 во оваа статија) за да се изведе синусната теорема користејќи елементарна линеарна алгебра и проектни матрици.

Хиперболичен случај

Во хиперболичната геометрија кога закривеноста е −1, синусната теорема станува

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$

Во специјален случај кога B е прав агол, се добива

${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$

што е аналогино на формулата во Евклидовата геометрија која го изразува синусот на агол како однос на спротивната страна и хипотенузата.

види и хиперболичен триаголник.

Унифицирана формулација

Се дефинира обопштена синусна функција, која зависи и од реален параметар ${\displaystyle K}$ со:

${\displaystyle \sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Синусната теорема со константна закривеност ${\displaystyle K}$ гласи^[1]:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.}$

Со замена за ${\displaystyle K=0}$, ${\displaystyle K=1}$ и ${\displaystyle K=-1}$, се добиваат соодветно Евклидовиот, сферичниот и хиперболичниот случај на синусната теорема кои се опишани погоре.

Нека ${\displaystyle p_{K}(r)}$ е обиколката на кружница со полупречник ${\displaystyle r}$ во простор со константна закривеност ${\displaystyle K}$. Тогаш ${\displaystyle p_{K}(r)=2\pi \sin _{K}r}$. Следователно, синусната теорема може исто така да се изрази како:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{K}(a)}}={\frac {\sin B}{p_{K}(b)}}={\frac {\sin C}{p_{K}(c)}}\,.}$

Оваа формулација ја открил Јанош Бојаи.^[7]

Повисоки димензии

За ${\displaystyle n}$-димензионален симплекс ( триаголник (${\displaystyle n=2}$), тетраедар (${\displaystyle n=3}$), пентатоп (${\displaystyle n=4}$), итн.) во ${\displaystyle n}$-димензионален Евклидов простор, апсолутната вредност на поларниот синус на нормални вектори од површини кои се спојуваат во теме, поделено со хиперповршината на површината спротивна на темето е независна од изборот на темето. Бележејќи ja со ${\displaystyle V}$ хиперзафатнитната на ${\displaystyle n}$-димензионален симплекс и со ${\displaystyle P}$ производот на хиперплоштините на неговитe ${\displaystyle (n-1)}$-димензионални ѕидови, заедничкиот количник е

${\displaystyle {\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$

На пример, тетраедарот има четири триаголни ѕида. Апсолутната вредност на поларниот синус на нормалните вектори на три ѕида кои имаат еден заеднички врв (теме), поделени со плоштината на четвртата површина нема да зависи од изборот на ѕидовите и темето:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {P} _{1}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {P} _{2}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {P} _{3}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ){\bigr |}}{\mathrm {P} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~\mathrm {P} _{1}\mathrm {P} _{2}\mathrm {P} _{3}\mathrm {P} _{4}}}\,.\end{aligned}}}$

Историја

Според Убиратан д'Амброзио и Хелејн Селин, сфeричната синусна теорема била откриена во X век. Припишувана им е на повеќемина: Абу-Махмуд Хоџанди, Абул ал-Вафа Бузџани, Насир ал-Дин ал-Туси и Аби Наср Мансур.^[8]

Делото „Книга за непознатите лакови на сфера“ од Ибн Муаз ал-Џајани од XI век ја содржи општата синусна теорема.^[9] Рамнинската синусна теорема била формулирана од Насир ал-Дин ал-Туси во XIII век. Во неговoтo дело „За отсечоците“, ја формулирал синусната теорема за рамнински и сферични триаголници и ја докажал.^[10]

Според Глен ван Брумелен, "Синусната теорема е во суштина основата на Региомонтан во неговите решенија на правоаголни триаголници во Книга 4 и овие решенија се основата за неговите решенија на општите триаголници."^[11] Региомонтан бил германски математичар од XV век.

Поврзано

• Косинусна теорема
• Тангенсна теорема
• Котангенсна теорема
• Молвајдева формула
• Триангулација