Херонова формула

Во геометријата, Хероновата формула служи за пресметување на плоштината ${\displaystyle P}$ на триаголник за кој се познати должините на трите страни ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ и гласи ^[1]

Триаголник со страни a, b и c.

${\displaystyle P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}$

каде што ${\displaystyle s}$ e полупериметар на триаголникот:

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}$

Забелешка: Полупериметарот ${\displaystyle s}$ на триаголникот е поголем од секоја од страните ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ (ова следува од неравенството на триаголник). Значи, сите четири множитела под квaдратниот корен во Хероновата формула се позитивни.

Пример: Нека ${\displaystyle \triangle ABC}$ е триаголник со страни ${\displaystyle a=7}$, ${\displaystyle b=4}$ и ${\displaystyle c=5}$.

Полупериметарот на ${\displaystyle \triangle ABC}$ е:

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8}$,
а плоштината му е:

${\displaystyle P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9,8\,.}$

Пример: Нека ${\displaystyle \triangle ABC}$ е триаголник со страни ${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=4}$ и ${\displaystyle c=5}$.

Неговиот полупериметар е: ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(3+4+5)=6}$, а плоштината му е: ${\displaystyle P={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {6\cdot (6-3)\cdot (6-4)\cdot (6-5)}}={\sqrt {6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}={\sqrt {36}}=6}$.
Ова е правоаголен триаголник познат под името египетски. Во него страната ${\displaystyle b}$ е и висина во однос на основата ${\displaystyle a}$. Користејќи ја обичната формула за плоштина на триаголник, следи

${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}\cdot 3\cdot 4=6}$.

Хероновата формула може да се напише и во кој било од следниве облици:

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\,}}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}}$

Тука и во доказите се користат формулите:

${\displaystyle s-a={\frac {1}{2}}(-a+b+c),\,\,s-b={\frac {1}{2}}(a-b+c),\,\,s-c={\frac {1}{2}}(a+b-c)}$.

Историја

Формулата му се припишува на Херон, а доказ може да се најде во неговата книга „Метрика“ (Metrica), која е напишана во 60 година н.е.^[2][3] Постои мислење дека формулата ја знаел и Архимед, а земајќи во обѕир дека „Метрика“ е колекција на математички знаења со кои располагал античкиот свет, можно е Херон само да ја забележал, а да не ја открил оваа формула.

Формула која е еквивалентна на Хероновата формула, а запишана во обликот:

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}$

била позната во древна Кина и е откриена независно од Грците. Може да се најде во делото „Девет книги за математичката вештина“ објавена во 1247 година.

Доказ

Во доказот на Херон, тој користел тетивни четириаголници.^[4].

Следи модерен доказ на формулата во кој се користи алгебра и тригонометрија и потполно е поинаков од оригиналниот доказ на Херон.

Нека ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ се страните на еден триаголник, а ${\displaystyle \alpha \,}$, ${\displaystyle \beta \,}$ и ${\displaystyle \gamma \,}$ се соодветните агли кои се наоѓаат наспроти нив. Без губење на општоста, ќе ја сметаме страната ${\displaystyle a}$ за основа на триаголникот. Според косинусната теорема:

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$.

Оттаму се добива алгебарската равенка:

${\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}}$.

Висината на триаголникот која одговара на основата ${\displaystyle a}$ има должина ${\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma }$, па следува

${\displaystyle P\,}$	${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot h_{a}}$
	${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\cdot a\cdot b\sin \gamma }$
	${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}$
	${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}}$
	${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2}))((a^{2}+2ab+b^{2})-c^{2})}}}$
	${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}}$
	${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}}}$
	${\displaystyle ={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(-a+b+c))\cdot {\tfrac {1}{2}}(a-b+c)\cdot {\tfrac {1}{2}}(a+b-c)\cdot {\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}}}$
	${\displaystyle ={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.}$

Во горните трансформации полиномите се разложуваат според формулите за бином на квадрат и за разлика на квадрати.

Доказ со користење на Питагоровата теорема

Триаголник со висина h која на страната c прави отсечки со должини d и (c−d).

Почнуваме од формулата за плоштина

${\displaystyle P={\tfrac {1}{2}}ch_{c}={\tfrac {1}{2}}ch}$ односно ${\displaystyle 4P^{2}=c^{2}h^{2}}$.

каде страната ${\displaystyle c}$ ја земаме како основа, а со ${\displaystyle h}$ ја означуваме висината спуштена кон неа. Подножјето на висината ја дели страната ${\displaystyle c}$ на два дела со должини ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle c-d}$, како на цртежот десно.

Од Питагоровата теорема следува: ${\displaystyle h^{2}+d^{2}=b^{2}}$ и ${\displaystyle h^{2}+(c-d)^{2}=a^{2}}$.

Заменувајќи го првиот израз од Питагоровата теорема во равенката ${\displaystyle 4P^{2}=c^{2}h^{2}}$, следи:

${\displaystyle 4P^{2}=c^{2}h^{2}=c^{2}\cdot (b^{2}-d^{2})=(cb)^{2}-(cd)^{2}}$.

Значи, треба да се докаже дека: ${\displaystyle (cb)^{2}-(cd)^{2}=4P^{2}=4s(s-a)(s-b)(s-c)}$.

Десната страна на последното равенство може да ја запишеме како:

${\displaystyle 4s(s-a)(s-b)(s-c)=(s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}-(s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}}$

Следи:

${\displaystyle 4(s(s-a)+(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)+(a-b+c)(a+b-c)=4cb}$

или

${\displaystyle (s(s-a)+(s-b)(s-c))^{2}=(cb)^{2}}$.

Слично се добива и дека

${\displaystyle 4(s(s-a)-(s-b)(s-c))=(a+b+c)(-a+b+c)-(a-b+c)(a+b-c)=4cd}$ или ${\displaystyle (s(s-a)-(s-b)(s-c))^{2}=(cd)^{2}}$

каде што двете применувања на Питагоровата теорема се користат во последната равенка.

Бројчена стабилност

Хероновата формула во зададениот облик е бројчено нестабилна за триаголници со многу мали агли. Постои стабилна алтернатива^[5] во која се именуваат страните, но така што: ${\displaystyle a\geqslant b\geqslant c}$, а потоа плоштината се пресметува по формулата

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}}.}$

Заградите се користат за да се спречи нумеричката нестабилност при пресметување на квадратен корен.

Обопштување

Хероновата формула е специјален случај на Брамагуптината формула за плоштина на тетивни четириаголници, а двете формули се специјални случаи на Бретшнајдеровата формула за плоштина на четириаголник. Во двата случаја, Хероновата формула се добива ако должината на една страна од четириаголникот се земе дека е еднаква на нула.

Исто така, Хероновата формула е посебен случај на формула за плоштина на трапез во која се користат само страните на трапезот. Во неа се става должината на помалата основа да е еднаква на нула.

Хероновата формула може да се изрази со помош на детерминантата

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}$

од каде се гледа сличноста на Хероновата формула со формулата на Николо Тартаља за зафатнина на тетраедар.

Друго обопштување на Хероновата формула до петаголници и шестаголници впишани во круг бил откриен од Давид П. Робинс.^[6]