Прекината рамномерна распределба

Во веројатностa и во статистиката, дискретна рамномерна распределба U(N), N∈ℕ, N≥2 е случаен експеримент со N еднаквоможни исходи.^[1]

Рамномерна распределба (дискретна)
Закон на распределба (pdf) N=10
Кумулативна распределба (cdf) N=10
Тип	Дискретна
Означување	U(N)
Параметри	N∈ℕ,N≥2
Поддршка	k∈{1,2,3,...,N}
PDF	${\displaystyle f(k)={\tfrac {1}{N}}\,\,\,\,\,k\in {1,2,3,...,N}}$
CDF	${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{0\,\,\,\,\,x<1}\\{{\frac {1}{N}}\cdot floor(x)\,\,\,\,\,1\leq x<N}\\{1\,\,\,\,\,x\geq N}\end{array}}\right.}$
μ	${\displaystyle {\tfrac {N+1}{2}}}$
σ2	${\displaystyle {\tfrac {N^{2}-1}{12}}}$

Одлики на рамномерна распределба U(N)

• Рамномерната распределба е потполно определена со бројот N, N∈ℕ, N≥2.
• Дискретната рамномерна распределба е дискретна распределба со дискретна случајна променлива со N елементи: X={1,2,...,N} (обично).
• Веројатноста Pr(X=k) на секој исход е еднаква бидејќи исходите се еднаквоможни, k∈X.

Според основните принципи на веројатноста, следува дека

${\displaystyle Pr(X=x)={\frac {1}{N}}}$

Доказ: Сите веројатности Pr(X=k) се еднакви, а нивниот збир треба да е 1. Има N од нив. Значи Pr(X=k)=¹/_N. Проверка:

${\displaystyle \sum \limits _{k}Pr(X=k)=\sum \limits _{k=1}^{N}{\frac {1}{N}}={\frac {1}{N}}\cdot N=1}$

Распределби на дискретна рамномерна распределба

• Рамномерна распределба U(N) ја има дискретната случајна променлива: X={1,...,N}.

Закон на распределба - PDF на U(N)

PDF на U(N)
X=x	Pr(X=x)=f(x)
1	1/N
2	1/N
3	1/N
...	...
N	1/N

Кумулативна распределба - CDF на U(N)

CDF на U(N)
x∈ℝ	F(x)
x<1	0
1≤x<2	1/N
2≤x<3	2/N
31≤x<4	3/N
...	...
x≥N	1

Мерки на дискретна рамномерна распределба

• Очекувана вредност E(x)  ^[2]

${\displaystyle E(x)=\sum \limits _{j}{x_{j}}\cdot {p_{j}}=\sum \limits _{k=1}^{N}k\cdot {\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{N}}\cdot \sum \limits _{k=1}^{N}k={\tfrac {1}{N}}\cdot {\tfrac {(N+1)\cdot N}{2}}={\frac {N+1}{2}}}$

• Дисперзија σ^{2  [3]}

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{j}(x_{j}-E(x))^{2}\cdot {p_{j}}={\frac {N^{2}-1}{12}}}$

Коцка со 10 страни

Пример: Опитот е: Фрлање на фер коцка со десет страни и запишување на резултатот (на горната страна).

Соодветна дискретна (конечна) случајна променлива е X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Бидејќи е фер коцка, сите исходи, т.е. сите N=10 елементи на Х се еднаквоможни со веројатност 1/10=0,1. (Ова е рамномерната распределба U(10).)

PDF на U(10)	CDF на U(10)
X=x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1	x∈ (-∞,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10) [10,∞) F(x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
${\displaystyle f(x)=0,1\,\,\,\,\,x=1,2,...,10}$	${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}0&{x<1}\\0,1\cdot floor(x)&{1\leq x<10}\\1&{x\geq 10}\end{array}}\right.}$
PDF-от на U(10) (Геогебра)	CDF-от на U(10) (Геогебра)

Очекуваната вредност:	E(x) = N+1/2=10+1/2 = 11/2 = 5,5
Дисперзијата:	σ2 = (N²-1)/12 = (10²-1)/12 = 99/12 = 8,25
Стандардното отстапување:	σ ≈ 2,87

Забелешка: floor е математичка функција од ℝ во ℤ со floor(x)=„најголемиот цел број не поголем од х“.^[4]

Претставување на рамномерната распределба со Геогебра

За графички приказ на PDF-от, т.е. Законот на распределба и на CDF-от, т.е. кумулативна распределба на рамномерна распределба (дискретна) може да се користи бесплатниот софтвер Геогебра.^[5]

Дефиниции специфични за дискретна рамномерна распределба се:

N=10    (или соодветен лизгач)

list1=Sequence[k,k,1,N]   Ја дефинира list1 со елементите на случајната променлива.

list2=Sequence[1/N,k,1,N]   Ја дефинира list2 со веројатностите.

Соодветните наредби на македонски (внимавајте на кирилица и латиница) се:

листа1=Низа[k,k,1,N]

листа2=Низа[1/N, k, 1, N]

Понатамошните дефиниции се исти за сите дискретни случајни променливи (види дискретна случајна променлива).