Природен број

Природни броеви се нарекуваат сите броеви коишто се цели и поголеми од нула. Тие ја образуваат низата на природни броеви 1, 2, 3... . Сите членови на оваа низа го сочинуваат множеството на природните броеви кое е бесконечно и се означува со N. Претставено математички, множеството на природните броеви изгледа вака:

${\displaystyle \mathbb {N} }$ = {1, 2, 3, ...}

Примена на природните броеви: броење на јаболки (едно јаболко, две јаболка, три јаболка, ...) одгоре надолу.

Најмалиот природен број е 1, а најголем не постои. Кога на множеството на природните броеви ќе му се додаде и нулата, се добива проширено множество кое се означува со N₀. Претставено математички тоа изгледа вака:

${\displaystyle \mathbb {N} }$₀ = {0, 1, 2, 3, ...}

Основната поделба на природните броеви е на парни и непарни. Парните броеви ја сочинуваат низата (2, 4, 6,... ,2n,...) и тие се деливи со 2, додека непарните броеви не се деливи со 2 и ја сочинуваат низата (1, 3, 5,... , 2n-1,...).

Збирот и производот на природните броеви е повторно природен број, додека разликата и количникот не секогаш се природен број. За еден природен број n велиме дека е делив со друг природен број m ако и нивниот количник n/m — исто така природен број. Тоа математички се запишува вака: m|n и се чита n е делив со m. Секој природен број кој има точно два делители, т.е. се дели само со 1 и со самиот себе, се нарекува прост број. Природните броеви коишто имаат повеќе од два делители се нарекуваат сложени броеви. Единствено бројот „еден“ не спаѓа во ниедна од овие групи. Бројот 1 не е ниту прост ниту сложен број.

Историја

Се претпоставува дека пред 20.000 години оваа коска се користела во Западна Африка за пресметување со природни броеви.

Најпримитивниот начин за претставување на природен број бил да се стави ознака за секој предмет. Одредувањето на еднаквоста, недостатокот или вишокот на предмети во множеството можело да се постигне со прецртување на ознаката и отстранување на предметот од множеството.

Првиот поголем напредок во апстракцијата била употребата на броен систем за претставување на броеви, особено големите. Древните Египќани развиле броен систем со различни хиероглифи за 1, 10 и сите степени на 10 до над еден милион. Камената резба од Карнак, која потекнува од околу 1500 година пр. н. е. и сега се наоѓа во Лувр во Париз, го прикажува бројот 276 како 2 стотки, 7 десетки и 6 единици, а слично е и за бројот 4622. Вавилонците имале позиционен систем заснован на цифрите за 1 и 10, и користеле основа шеесет; ознаката за шеесет бил ист како и симболот за еден, па затоа вредноста била одредуван од контекстот.^[1]

Многу подоцна се појавила идејата за нула како број, со свој симбол. Употребата на цифрата 0 во позицискиот запис се појавува уште во 700 година пр. н. е. кај Вавилонците, кои ја изоставувале кога била последен знак во бројот.^{[б 1]} Олмеците и Маите ја користеле 0 како посебна цифра уште во 1 век пр. н. е., но ова не се проширило надвор од Мезоамерика.^[3][4] Современата употреба на нула потекнува од индискиот математичар Брамагупта во 628 година. Нулата се користела во средновековните пресметки на датумот на Велигден, почнувајќи со Дионисиј Малиот во 525 година, но немала ознака. Стандардните римски броеви немаат симбол за нула; наместо тоа, се користел зборот nulla (генитив: nullae) од nullus за ништо.^[5]

Првото системско проучување на броевите како апстракции обично им се припишува на грчките филозофи Питагора и Архимед. Некои грчки математичари го сметале бројот еден за различен од поголемите броеви, понекогаш дури и не го сметале за број.^{[б 2]} Евклид, на пример, прво ја дефинирал единицата, а потоа бројот како збир на единици; според неговата дефиниција, единицата не е број и не постојат единствени броеви.^[7]

Независни студии за броеви постоеле приближно во исто време во Индија, Кина и Средна Америка . ^[8]

Современи дефиниции

Во Европа во 19 век се воделе математички и филозофски расправи за точната природа на природните броеви. Анри Поенкаре изјавил дека аксиомите можат да се искажат само во нивната крајна примена и заклучил дека „моќта на разумот“ она што ни овозможува да го разбереме бесконечното повторување на истиот чин.^[9] Леополд Кронекер го свел своето верување во „Бог ги создал целите броеви, сè друго е дело на човекот“.

Конструктивистите ја увиделе потребата од подобрување на логичката строгост во основите на математиката.^{[б 3]} Во 1860-тите, Херман Грасман предложил рекурзивна дефиниција за природните броеви, наведувајќи дека тие всушност не се природни, туку последица на дефинициите. Подоцна, биле конструирани две класи на такви формални дефиниции, а потоа се покажало дека се еквивалентни во повеќето практични апликации.

Дефиницијата на природни броеви во теоријата на множествата ја вовел Готлоб Фреге. Тој првично го дефинирал природниот број како класа од сите множества што се во кореспонденција еден-на-еден со дадено множество. Се покажало дека оваа дефиниција води до парадокси, вклучувајќи го и Раселовиот парадокс. За да се избегнат ваквите парадокси, формализмот бил модифициран така што природниот број се дефинира како дадено множество, а секое множество што може да се стави во бијекција со тоа множество се вели дека го има тој број на елементи.^[10]

Втората класа дефиниции ја вовел Чарлс Сандерс Пирс, ја подобрил Ричард Дедекинд и понатаму ја истражил Џузепе Пеано. Овој пристап сега се нарекува Пеанова аритметика. Се темели на аксиоматизацијата на својствата на редните броеви: секој природен број има следбеник и секој природен број различен од нула има единствен претходник. Пеановата аритметика е конзистентна со неколку слаби системи на теоријата на множества. Еден таков систем е Цермело-Френкеловата теорија на множества за која аксиомата на бесконечноста се заменува со нејзината негација. Теоремите што можат да се докажат во ЦФ теоријата, но не можат да се докажат со користење на Пеановите аксиоми, ја вклучуваат Гудштајновата теорема.^[11]

Со сите овие дефиниции прикладно е да се вклучи нулата (која одговара на празно множество) како природен број. Сега тоа е вообичаена конвенција меѓу теоритичарите на множества^[12] и логичарите.^[13] Сметачките јазициi често почнуваат од нула кога ги набројуваат ставките во бројачите на јамки и елементите на структурите на податоците.^[14][15] Сепак, многу математичари се држат за постарата традиција и еден (1) го сметаат за првиот природен број.

Пеанови аксиоми

Следните аксиоми се познати под името Пеанови аксиоми, наречени така во чест на италијанскиот математичар Џузепе Пеано кој во 1889 година математички ги определил природните броеви. Наједноставната, описна верзија е следната:

1. 1 природен број;
2. Следбеникот на било кој природен број е пак природен број;
3. 1 не е следбеник на ниту еден природен број;
4. Секој природен број е следбеник на само еден природен број, или поинаку кажано: ако два природни броја се различни, тогаш и нивните следбеници се различни т.е. ако a≠b тогаш a+1≠b+1;
5. Аксиома на индукцијата: Ако за едно подмножество на природните броеви A важи:
   * 1 ∈ A и
   * за секое a ∈ A важи a+1 ∈ A,
   тогаш множеството A е еднакво на множестовото на природните броеви.

Белешки

1. Плочата од Киш, за која се верува дека потекнува од околу 700 година пр. н. е., користи три ознаки за штиклирање за означување празно место во позициската нотација; некои други плочки користат само една ознака за штиклирање.^[2]
2. Оваа конвенција се користи на пример во Евклидовите „Елементи“.^[6]
3. „Голем дел од математичката работа на дваесеттиот век е посветена на испитување на логичките основи и структурата на предметот.“ Eves 1990, стр. 606 harv error: no target: CITEREFEves1990 (help)