ജ്യാമിതി

വസ്തുക്കളുടെ രൂപങ്ങളെപ്പറ്റി പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ.

ജ്യാമിതീയ ഘനരൂപങ്ങൾ -1.ഗോളം, 2.പിരമിഡ്, 3.ക്യൂബ്‌, 4.റ്റോറസ്, 5.ട്യൂബ്, 6.സിലിണ്ടർ‌, 7.കോൺ അഥവാ കൂമ്പ്, 8.റ്റോറസ് നോട്ട് (torus knot)- റ്റോറസ് കെട്ട്

പേരിനു പിന്നിൽ

ഭൂമി എന്നർത്ഥം വരുന്ന ജ്യാ , അളവ് എന്നർത്ഥം വരുന്ന മിതി എന്നീ സംസ്കൃതപദങ്ങൾ ചേർന്നാണ്‌ ജ്യാമിതി എന്ന പദം ഉണ്ടായത്^[1] ഭൂമിയിലെ അളവുകളെ സംബന്ധിക്കുന്നത് എന്നാണ്, ജ്യാമിതി (Geometry) എന്ന വാക്കിന്റെ അർത്ഥം.

ചരിത്രം

കൃഷി, കെട്ടിടങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഈ ശാസ്ത്രശാഖ രൂപം പ്രാപിക്കുകയും വികസിക്കുകയും ചെയ്തു. പ്രാചീന ശിലായുഗകാലം മുതൽ മനുഷ്യർ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുൻപ് തന്നെ ഭാരതത്തിലും ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി സിന്ധുനദീതടസംസ്കാര കാലത്ത് നിർമ്മിച്ചിരുന്ന വീടുകളുടേയും കെട്ടിടങ്ങളുടേയും അവശിഷ്ടങ്ങളിൽ നിന്നും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. യാഗാനുഷ്ഠാനങ്ങൾക്കായി വേദി ഒരുക്കേണ്ടിയിരുന്നതിനാൽ ക്ഷേത്രഗണിതത്തിനു വേദകാലത്ത്‌ തന്നെ പ്രോത്സാഹനം ലഭിച്ചിരുന്നു. ^[2]

പുരാതന ഗ്രീസിൽ

ബി.സി ആറാം നൂറ്റാണ്ടിനോടടുത്ത് ജീവിച്ചിരുന്ന ഥേൽസ് ആണ് ആദ്യകാലത്തെ പ്രധാന ക്ഷേത്രഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായി കരുതുന്നത്.ലളിതവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിവുസഹിതം ഇദ്ദേഹം ആവിഷ്ക്കരിച്ചു.അർദ്ധവൃത്തത്തിൽ വരയ്ക്കുന്ന കോൺ മട്ടകോണായിരിയ്ക്കും എന്ന് ഇദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു.ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യരിൽ പ്രധാനിയായിരുന്ന പൈത്തഗോറസ് ത്രികോണങ്ങള്‍,വൃത്തങ്ങള്‍,അനുപാതം എന്നിവയെയെല്ലാം പറ്റി പുതിയസിദ്ധാന്തങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തി.ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരിൽ തന്നെ അറിയപ്പെടുന്ന പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ആണ് പ്രധാനസംഭാവന.ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളേയും കോണുകളെയും സംബന്ധിയ്ക്കുന്ന ബന്ധങ്ങളാണ് ഇതിലൂടെ വ്യക്തമാക്കിയത്.ബി.സി 300നോടടുത്ത് ജീവിച്ചിരുന്ന യൂക്ലിഡ് ആണ് ഈ ശാഖയിലെ മറ്റൊരു പ്രശസ്തൻ.അനുമാനരീതി ആരംഭിച്ചത് ഇദ്ദേഹമാണ്.ഇക്കാലത്തും ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ സംഭാവനയായ എലമെന്റ്സ്'ഇനുള്ള പ്രാധാന്യം അവഗണിയ്ക്കാനാവാത്തതാണ്. ഉത്തരത്തിലെത്തിച്ചേരുക എന്നതിലുപരിയായി എപ്രകാരം ചെയ്യുന്നു അതായത് വഴികൾക്കാണ് ഇദ്ദേഹം പ്രാധാന്യം നൽകിയത്.ജ്യാമിതീയ നിർമ്മിതിയും അവതരിപ്പിച്ചത് ഗ്രീക്കുകാരാണ്.

കോണികങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാരംഭിച്ചത് ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന അപ്പോളോണിയസ് ആണ്.ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ഈ രൂപങ്ങൾ പ്രധാനങ്ങളാണ്.ആർക്കമിഡീസ് ബി.സി.മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിനോടടുത്ത് ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണവും വക്രരൂപങ്ങളുടെ ഉപരിതലവിസ്തീർണ്ണവും വ്യാപ്തവും നിർണ്ണയിയ്ക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.പൈയുടെ ഏകദേശവില 3 10/70 യുടേയും 3 10/71യുടേയും ഇടയിലാണെന്ന് കണ്ടെത്തി.

മദ്ധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ

റോമാസാമ്രാജ്യത്തിന്റെ പതനത്തോടെ യൂറോപ്പ് ഇരുണ്ട യുഗത്തിലായതിനാൽ ഇവിടങ്ങളിൽ ഇക്കാലത്ത് ഏതൊരു ശാഖയേയുമെന്ന പോലെ ജ്യാമിതിയിലും പുരോഗമനമൊന്നും ഉണ്ടായില്ല.ഇക്കാലത്ത് ജ്യാമിതിയിൽ സംഭാവനകൾ നൽകിയത് ആഫ്രിക്കൻ രാജ്യങ്ങളും ഭാരതവുമായിരുന്നു.എ.ഡി ആറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ആര്യഭടനാണ് ഭാരതത്തിലെ ഇക്കാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ പ്രധാനി.പൈയുടെ വില കൃത്യതയോടെ 62832/20000 അഥവാ 4 ദശാംശങ്ങൾക്ക് തുല്യമായി 3.1416 എന്ന് ഇദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി.എ.ഡി 4നും എ.ഡി 13നും ഇടയിൽ ത്രികോണമിതിയിൽ പുരോഗതിയുണ്ടായി.

17,18നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ ജ്യാമിതി

റെനെ ദെക്കാർത്തേയാണ് ജ്യാമിതിയിലെ രൂപങ്ങളെ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളുപയോഗിച്ച് അവതരിപ്പിയ്ക്കുന്ന സമ്പ്രദായം ആരംഭിച്ചത്.വിശ്ലേഷണജ്യാമിതിയ്ക്ക് തുടക്കമിട്ടത് ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ആശയങ്ങളിലൂടേയാണ്.17ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ വികസിച്ച മറ്റൊരു ജ്യാമിതീയ ശാഖയാണ് പ്രക്ഷേപണജ്യാമിതി.വിവരണജ്യാമിതി പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ വികസിച്ചു.

ആധുനിക ജ്യാമിതി

വിശ്ലേഷണ,പ്രക്ഷേപണ,വിവരണ ജ്യാമിതികൾ യൂക്ലീഡിയൻ ജ്യാമിതിയ്ക്ക് അടിസ്ഥാനമിട്ടു.യൂക്ലീഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ നിന്നും വഴിമാറി സഞ്ചരിച്ചവരാണ് കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗോസ്സ്,ജോർജ് ഫ്രെഡറിക് ബെർണാർഡ് റീമാൻ എന്നിവർ.ആധുനിക ജ്യാമിതിയുടെ ഏറ്റവും പ്രധാന ആശയമാണ് ഗ്രൂപ് സിദ്ധാന്തം.ഇത് 1872ൽ ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രകാരനായ ഫെലിക്സ് ക്ലെയിൻ ആണ് അവതരിപ്പിച്ചത്.നാലോ അതിൽക്കൂടുതലോ വിമകളുടെ ജ്യാമിതി ആർതർ കെയ്‌ലി ‍19ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ വികസിപ്പിച്ചു.

ജ്യാമിതീയ ശാഖകൾ

പ്രായോഗികജ്യാമിതി

ഒരു പ്രായോഗികശാസ്ത്രമായാണ് ജ്യാമിതി എന്ന ശാഖ വികസിച്ചത്.വ്യാപ്തി കണ്ടെത്തൽ,വിസ്തീർണ്ണം,വ്യാപ്തം ഇവ നിർണ്ണയിക്കൽ,അളവുകൾ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടാണ് ആദ്യകാലങ്ങളിൽ ജ്യാമിതി വികസിച്ചത്.ഈ മേഖലയിലെ പ്രധാന നേട്ടങ്ങൾ നീളം കണ്ടെത്തൽ,ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്,വിസ്തീർണ്ണം ഇവ നിർണ്ണയിക്കൽ,പൈത്തഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതിയിലുള്ള പ്രയോഗങ്ങൾ എന്നിവയാണ്.

സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണീകരണ ജ്യാമിതി

യൂക്ലിഡ് ചില സ്വയം‌സിദ്ധപ്രമാണങ്ങളും നിർവ്വാദസങ്കല്പങ്ങളും അടിസ്ഥാനപരവും സ്വയം‌സ്പഷ്ടങ്ങളുമായ ബിന്ദു,രേഖ,തലം എന്നിവയുടെ സ്വഭാവവിശേഷങ്ങളും അവതരിപ്പിച്ചു.എ.ഡി ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഡേവിഡ് ഹിൽബെർറ്റ് യൂക്ലീഡിയൻ ജ്യാമിതിയെ പരിഷ്ക്കരിയ്ക്കുകയും ആധുനികവൽക്കരിയ്ക്കുകയും ചെയ്തു.

വിശ്ലേഷണജ്യാമിതി

ചില ബീജീയവാചകങ്ങൾ ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു എന്ന കാരണത്താലാണ് വിശ്ലേഷണജ്യാമിതി(Analytic Geometry) രൂപം‌കൊണ്ടത്.ഇത്തരം ബീജീയവാചകങ്ങളെ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിയ്ക്കുന്നു.അക്ഷങ്ങളും നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളും ഇതിനായി ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു.ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു തലത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ അതിൽ നിന്നും Xഅക്ഷത്തിലേയ്ക്കും Yഅക്ഷത്തിലേയ്ക്കും ലംബങ്ങൾ വരച്ച് കണ്ടെത്താം.വിശ്ലേഷണജ്യാമിതിയുടെ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ ജ്യാമിതീയവിവരണം നൽകിയാൽ എങ്ങനെ ബീജീയരീതിയിൽ അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാം എന്നും ബീജീയരീതിയിൽ സമവാക്യം തന്നാൽ എപ്രകാരം ജ്യാമിതിയിൽ സമവാക്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കാം എന്നതും ആണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വളർച്ചയിൽ ഈ ശാഖയ്ക്ക് പ്രധാനസ്ഥാനം കല്പിയ്ക്കുന്നു.എന്തെന്നാൽ സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വിശ്ലേഷണം വഴിയും ജ്യാമിതീയ ആശയങ്ങളും ഇത് ഏകോപിപ്പിയ്ക്കുന്നു.സംഖ്യകളേയും ബീജീയവാചകങ്ങളേയും ജ്യാമിതിയുടെ പിൻബലത്തോടെ അവതരിപ്പിയ്ക്കുന്ന രീതി കലനശാസ്ത്രത്തിലും ഫലനസിദ്ധാന്തങ്ങളേയും നിർദ്ധാരണം ചെയ്യാൻ അസാദ്ധ്യമായിരുന്ന പല പ്രശ്നങ്ങൾക്കും ഉത്തരം നൽകി.വിശ്ലേഷണജ്യാമിതിയുടെ സഹായത്തോടെ മാത്രമേ ത്രിമാനതലത്തിലുള്ള ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളേയും ഇതിനു മുകളിലുള്ള വിമകളേയും() വിശദീകരിയ്ക്കാൻ സാധിയ്ക്കൂ.

പ്രക്ഷേപണജ്യാമിതി

ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളിൽ ഫലപ്രദമായ പ്രക്ഷേപണങ്ങൾ നടത്തി രൂപപ്പെട്ടതാണ് പ്രക്ഷേപണജ്യാമിതി(Projective Geometry).പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലാണ് ഈ ശാഖ വികസിച്ചത്.ഉദാഹരണത്തിന് കോണികങ്ങൾ\കോണികങ്ങളിൽ പ്രക്ഷേപണങ്ങൾ നടത്തിയാൽ പരസ്പരം രൂപം മാറുന്നു.അവയുടെ സ്വഭാവസവിശേഷതകളിലാണ് ഇത്തരം മാറ്റങ്ങൾ പ്രകടമാവുന്നത്.ഒരു വൈദ്യുതദീപം ഭിത്തിയിൽ പതിപ്പിച്ചാൽ സ്വാഭാവികമായും വൃത്തരൂപം ആണ് ദൃശ്യമാവുക.എന്നാൽ ഇത് ലംബമായാണ് പതിപ്പിയ്ക്കുന്നതെങ്കിൽ ദീർഘവൃത്തം ആണ് പ്രകടമാവുക.

എന്നാൽ പ്രക്ഷേപണത്തിനനുസരിച്ച് ചില സവിശേഷതകൾക്ക് മാറ്റം വരുന്നില്ല.ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു വൃത്തത്തിലെ ആറ് ബിന്ദുക്കളാണ് A,B,C,E,F,G.AയുംDയും, BയുംEയും CയുംFഉം തമ്മിൽ യോജിപ്പിച്ചാൽ ഈ മൂന്നുരേഖകളും കൂട്ടിമുട്ടുന്ന ബിന്ദുക്കൾ ഒരു നേർരേഖയിലായിരിയ്ക്കും.എന്നാൽ ഈ സ്വഭാവം പ്രക്ഷേപണം വഴി രൂപംകൊള്ളുന്ന ദീർഘവൃത്തത്തിൽ വ്യത്യാസമുണ്ടായിരിയ്ക്കുകയില്ല.മറ്റൊരുദാഹരണം പരിഗണിയ്ക്കുക.ഏതു കോണികത്തിലും വരയ്ക്കുന്ന ആറ് സ്പർശകങ്ങളും അതിന്റെ വിപരീതബിന്ദുക്കളും യോജിപ്പിച്ചാൽ ഈ രേഖകളെല്ലാം കൂട്ടിമുട്ടുന്നത് ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രമായിരിയ്ക്കും.പ്രക്ഷേപണത്തിനനുസരിച്ച് ഈ സ്വഭാവത്തിൽ വ്യത്യാസം വരുന്നില്ല.

ജ്യാമിതീയ നിർമ്മിതി

ദൂഷിക(Scale/Straightedge), വൃത്തലേഖിനി (Compass) എന്നിവയാണ് ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ രചനക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്ന ഉപകരണങ്ങൾ.