ഗ്രേഡിയന്റ്

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവകലജം എന്ന ആശയത്തിനെ ഒന്നിലധികം ചരങ്ങൾ ഉള്ള ഫലനത്തിലേയ്ക്ക് വിപുലീകരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന ആശയമാണ് ഗ്രേഡിയന്റ് എന്നത്. ഒരു ചരത്തിന്റെ വിലകൾ മാറുന്ന നിരക്കാണ് അവകലജം. എന്നാൽ ഒന്നിലധികം ചരങ്ങൾ ഉള്ള ഫലനത്തിൽ ഓരോന്നിന്റെയും വിലകൾ സ്വതന്ത്രമായി മാറാം. ഇങ്ങനെയുള്ള എല്ലാ മാറ്റങ്ങളുടെയും നിരക്കിന്റെ ഒരു കോമ്പിനേഷൻ ആണ് ഗ്രേഡിയന്റ്. പല മാറ്റങ്ങളുടെ നിരക്കിന്റെ ഒരു കോമ്പിനേഷൻ ആയതിനാൽ ഇതിന്റെ വിലകൾ ഒരു സദിശം ആണ്.^[1] അവകലജത്തിന്റെ വിലകൾ അദിശം ആണ്(കാരണം ഒരു ഇൻപുട്ട് വിലയ്ക്ക് ഒരു ഫലനത്തിന്റെ അവകലനഫലനം ഒരു വില മാത്രമേ ഔട്ട്പുട്ട് ആയി തരുന്നുള്ളൂ).

മുകളിലെ രണ്ടു ചിത്രങ്ങളിലും ഫലനത്തിന്റെ വിലകൾ കറുപ്പും വെളുപ്പും നിറങ്ങളിൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു. കറുത്ത നിറം ഉയർന്ന വിലകളെ സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു. നീല അമ്പടയാളങ്ങൾ ഈ ഫലനത്തിന്റെ ഗ്രേഡിയന്റിനെ സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു. ഏത് ദിശയിലേക്കാണ് വിലകൾ കൂടി വരുന്നത് (വേറൊരു തരത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ കുന്നിന്റെ കയറ്റം ഏതു ദിശയിലാണ് കൂടുതൽ എന്നത്) എന്നാണ് ഇത് സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നത്.

അവകലജത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ എന്ന പോലെ ഗ്രേഡിയന്റ് വിലയും ഫലനത്തിന്റെ ആരേഖത്തിന്റെ ആനതി (സ്ലോപ്പ്) തന്നെയാണ് സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നത്. എന്നാൽ ഇത് മുകളിൽ പറഞ്ഞ പോലെ ഒരു സദിശം ആയതിനാൽ ഇതിന് കുറച്ചുകൂടി വിശദീകരണം ആവശ്യമുണ്ട്. ഫലനം പല ചരങ്ങളുടേതാണെന്ന് ഓർക്കുക. അതിനാൽ ഇതിന്റെ ആരേഖം ഒരു ഏകമാനമായ കർവ് ആയിരിയ്ക്കില്ല. പകരം ഒരു ഉപരിതലം ആയിരിയ്ക്കും (ഒരു കുന്ന് സങ്കൽപ്പിയ്ക്കുക). ഒരു ഉപരിതലത്തിന്റെ ചെരിവ് എന്നത് കൃത്യമായ ഒരു വാക്കല്ല. ഏതു ദിശയിലാണ് ചെരിവ്? എല്ലാ ദിശയിലേയ്ക്കും കുറേശെ ചെരിവ് ഉണ്ടാകാം. ഓരോ ദിശയിലുമുള്ള ചെരിവുകൾ ചേർത്ത സദിശമാണ് ഗ്രേഡിയന്റ്. ഇതിന്റെ നീളം (സദിശത്തിന്റെ മാഗ്നിറ്റുഡ്) ആണ് പൊതുവെ ഈ സ്ലോപ്പിനെ കുറിയ്ക്കുന്നത്. സദിശത്തിന്റെ ദിശയാണ് ചരിവിന്റെ ദിശ. 

ചിത്രത്തിൽ കറുത്ത സദിശങ്ങൾ രണ്ടും x1, x2 എന്നീ രണ്ടു ചരങ്ങളെ അധിഷ്ഠിതമാക്കിയ ഭാഗിക അവകലജങ്ങളെ സൂചിപ്പിയ്ക്കുന്നു. രണ്ടു ദിശകളിലും ചെരിവ് ഉണ്ട്. നീല സദിശമാണ് ഇവയുടെ സംയുക്തമായ ഗ്രേഡിയന്റ്.

ഇവ കൂടി കാണുക

• അവകലനം