Kuaternion

Dalam bidang matematik, kuaternion adalah sistem nombor yang memanjangkan sistem nombor kompleks. Kuaternion ditulis dalam bentuk:

${\displaystyle a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} }$

dimana pekali a, b, c dan d ialah nombor nyata dan i, j dan k ialah unit khayalan. Ia diperhatikan bahawa unit i, j dan k selalunya ditaip dengan font math bold font. Set yang mewakili kuaternion dilambangkan dengan ${\displaystyle \mathbb {H} }$ atau ${\displaystyle \mathbf {H} }$^[1]. Kegunaan huruf H untuk mewakili set kuaternion datang dari penciptanya, ahli matematik Irish William Rowan Hamilton.^[2]

Kuaternion memperolehi aplikasi yang luas. Berkisaran dari pemprosesan isyarat, teori nombor, mekanik kuantum, sains komputer, robotik dan analisis struktur dalam pelbagai bidang.^[3]

Definisi

Pendaraban unit khayalan kuaternion.

Unit khayalan i, j dan k ditakrifkan dalam satu persamaan:

${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1}$

Beberapa hukum boleh diperolehi dari persamaan tersebut:

• ${\displaystyle \mathbf {ij} =-\mathbf {ij} =\mathbf {k} }$
• ${\displaystyle \mathbf {jk} =-\mathbf {kj} =\mathbf {i} }$
• ${\displaystyle \mathbf {ki} =-\mathbf {ik} =\mathbf {j} }$

Pendaraban unit khayalan kuaternion tidak berhukum kalis tukar tertib, iaitu ${\displaystyle ab\neq ba}$. Tetapi, ia penting untuk nota bahawa kuaternion masih memperolehi hukum kalis sekutuan. Suatu kuaternion ialah gabungan pekali nombor nyata dan unit khayalan dalam bentuk:

${\displaystyle q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} }$

dimana ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dan ${\displaystyle d}$ adalah pekali nombor nyata dan i, j dan k ialah unit khayalan. Unit khayalan kuaternion juga boleh dianggap sebagai unit vektor. Secara komponenan, pekali ${\displaystyle a}$ digelar sebagai bahagian skalar (atau bahagian nyata) dan ${\displaystyle b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} }$ sebagai bahagian vektor kuaternion. Kuaternion dimana bahagian nyatanya sama dengan kuaternion tersebut digelar sebagai kuaternion nyata.

${\displaystyle q=a+0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +0\mathbf {k} =a}$

Kuaternion dimana setiap komponennya ialah 0 digelar sebagai kuaternion sifar.

${\displaystyle q=0+0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +0\mathbf {k} =0}$

Hasil darab Hamilton

Hasil darab antara dua kuaternion ${\displaystyle q_{1}}$ dan ${\displaystyle q_{2}}$ dipanggil sebagai hasil darab Hamilton. Untuk melaksanakan pendaraban tersebut, hukum yang ditunjukkan serta hukum kalis agihan digunakan. Andaikan ${\displaystyle q_{1}=a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} }$ dan ${\displaystyle q_{2}=a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} }$.,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}q_{1}\times q_{2}=\,&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}}$

Gunakan hukum-hukum unit khayalan untuk mendarabkan unit khayalan tersebut dan faktorkan unit khayalan keluar kurungan untuk mendapat:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}q_{1}q_{2}=\,&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}}$