Nombor kompleks

Nombor kompleks ialah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Nombor kompleks mempunyai bentuk${\displaystyle a+bi\,}$di mana ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ ialah nombor nyata, dan ${\displaystyle i}$ ialah unit khayalan.

Sistem nombor matematik
Asas
${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ Nombor asli ${\displaystyle \mathbb {N} }$ Nombor negatif ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ Integer ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Nombor nisbah ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ Nombor bukan nisbah ${\displaystyle \mathbb {Q} '}$ Nombor nyata ${\displaystyle \mathbb {R} }$ Nombor khayalan ${\displaystyle \mathbb {I} }$ Nombor kompleks ${\displaystyle \mathbb {C} }$ Nombor algebra ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ Nombor transenden ${\displaystyle \mathbb {T} }$
Perluasan kompleks
Nombor dwikompleks Nombor hiperkompleks Kuaternion ${\displaystyle \mathbb {H} }$ Kokuaternion Bikuaternion Oktonion ${\displaystyle \mathbb {O} }$ Sedenion ${\displaystyle \mathbb {S} }$ Tesarina Hipernombor Nombor supernyata Nombor hipernyata Nombor sureal
Lain-lain
Nombor kompleks belah ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$ Nombor bersiri Nombor melampaui terhingga Nombor ordinal Nombor kardinal ${\displaystyle \aleph _{n}}$ Nombor perdana ${\displaystyle \mathbb {P} }$ Nombor p-adik Nombor boleh bina Nombor boleh kira Jujukan integer Pemalar matematik ${\displaystyle x}$ Nombor besar Pi ${\displaystyle \pi }$ Nombor Euler ${\displaystyle e}$ Unit khayalan ${\displaystyle i}$ Ketakterhinggaan ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle z=a+bi}$ | ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

Secara terminologi, ${\displaystyle a}$ dikatakan sebagai bahagian nyata nombor manakala ${\displaystyle b}$ dikatakan sebagai bahagian khayalan nombor kompleks itu. Bahagian nyata ditandai dengan fungsi ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$ atau ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}$ dan bahagian khayalan ditandai dengan fungsi ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)}$ atau ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)}$.

${\displaystyle \mathrm {Re} (a+bi)={\mathfrak {R}}(a+bi)=a}$ | ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Im} (a+bi)={\mathfrak {I}}(a+bi)=b}$ | ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian-bahagian nyatanya sama dan bahagian-bahagian khayalannya sama. Maka;

${\displaystyle z_{1}=z_{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathrm {Re} (z_{1})=\mathrm {Re} (z_{2})\,\,\mathrm {dan} \,\,\mathrm {Im} (z_{1})=\mathrm {Im} (z_{2})}$

Set bagi semua nombor kompleks diwakili dengan ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

${\displaystyle \mathbb {C} =\{a+bi\,|\,a,b\in \mathbb {R} \}}$

Etimologi

Perkataan 'nombor kompleks' dikenalkan oleh Carl Friedrich Gauss.^[1] Perkataan "kompleks" itu sendiri mencerminkan idea untuk menggabungkan kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.

Satah Cartes

Nombor kompleks boleh diplotkan atas satah Cartes.

Paksi-${\displaystyle x}$ dilabelkan sebagai paksi nyata manakala paksi-${\displaystyle y}$ dilabel sebagai paksi khayalan. Satah ini sekarang dekenali sebagai satah kompleks.

${\displaystyle 2i}$ dan ${\displaystyle 4i}$ diplotkan atas satah kompleks.

Operasi Aritmetik atas Nombor nyata

Operasi aritmetik asas atas nombor kompleks boleh menghasilkan hasilan unik.

Penambahan dan Penolakan

• ${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i}$,

• ${\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(c-d)i}$,

Di mana ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dan ${\displaystyle d}$ adalah nombor nyata.

Pendaraban dan Pembahagian

• ${\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(cb+ad)i}$,

Di mana ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ dan ${\displaystyle d}$ adalah nombor nyata.

• ${\displaystyle \,{\frac {a+bi}{c+di}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i,}$

Di mana ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ adalah nombor nyata dan ${\displaystyle c+di\neq 0}$.

Konjugat

Konjugat bagi ${\displaystyle z}$.

Konjugat bagi suatu nombor kompleks ${\displaystyle z=a+bi}$ ditandai dengan ${\displaystyle z'}$ adalah nombor kompleks dimana tanda bahagian khayalan terbalik. Jadi;

${\displaystyle z=a\pm bi\Longrightarrow z'=a\mp bi}$

Konjugat nombor kompleks ${\displaystyle z}$ juga ditandai dengan ${\displaystyle {\overline {z}}}$.

Rumus-rumus Konjugat Kompleks

Tersebut adalah rumus-rumus konjugat nombor kompleks;

• ${\displaystyle {\overline {({\overline {z}})}}=z}$
• ${\displaystyle z_{1}\pm z_{2}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\,\,{\overline {z_{2}}}}$
• ${\displaystyle {\overline {{\Bigl (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Bigr )}}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}}$

Etimologi Konjugat

Konjugat datang daripada perkataan bahasa Latin 'coniugatus' yang datang dicantum dengan 'con' dan 'jugam' yang bermaksud 'bersama' dan 'terikat'.^[2]

Nilai Mutlak Nombor Kompleks

Maklumat selanjutnya: Nilai mutlak

Nilai mutlak, modulus atau magnitud ditakrifkan sebagai jarak suatu nombor daripada 0. Mengikut definisi ini, nilai mutlak bagi suatu nombor kompleks ${\displaystyle z}$ ditakrifkan sebagai;

${\displaystyle |z|={\sqrt {\,\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}\,}}}$

Ini serupa dengan teorem Pythagoras.

Dalam beberapa konteks, ${\displaystyle |z|}$ mungkin diwakili dengan huruf ${\displaystyle r}$.

Bentuk Polar

Dalam rajah ini, ${\displaystyle \varphi }$ adalah argumen bagi ${\displaystyle z}$.

Bentuk polar (atau bentuk kutub) adalah bentuk nombor kompleks yang ditulis dalam argumen dan nilai mutlak manakala bentuk ${\displaystyle a+bi\,}$ bagi suatu nombor kompleks dikenali sebagai bentuk segi empat tepat. Ini adalah bentuk polar nombor kompleks ${\displaystyle z}$;

${\displaystyle z=r[\,\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )]}$

Di mana ${\displaystyle \theta }$ adalah argumen, ${\displaystyle r}$ adalah nilai mutlak dan ${\displaystyle \mathrm {sin} (x)}$ dan ${\displaystyle \mathrm {kos} (x)}$ adalah fungsi trigonometrik. Dalam konteks analisis kompleks, argumen adalah sudut antara paksi nyata dan garisan daripada nombor kompleks, ia diwaklili dalam unit radian. Argumen bagi suatu nombor kompleks ${\displaystyle z}$ boleh ditulis dengan fungsi ${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)}$ atau ${\displaystyle \mathrm {arg} (z)}$.^[3]

${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)=\mathrm {arg} (z)=\theta }$

${\displaystyle \theta =\mathrm {arctan} {\Biggl (}{\frac {\mathrm {Im} \,z}{\mathrm {Re} \,z}}{\Biggr )}}$

Bulatan unit atas satah kompleks.

Ingat, bagi suatu nombor kompleks, terdapat infiniti argumen yang boleh didapati. Ia diwakili dalam bentuk ${\displaystyle \theta +2\pi n}$ di mana ${\displaystyle n}$ adalah suatu integer. Oleh sebab itu, untuk fungsi ${\displaystyle \mathrm {Arg} (z)}$ menjadi fungsi, ia ditakrifkan untuk mengoutputkan nilai antara ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$. Ini dipanggil argumen principal.^[4]

Juga, bentuk polar bagi nombor kompleks boleh ditulis seperti ini;

${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

Di mana ${\displaystyle e}$ adalah pemalar Euler, pemalar yang hampiri 2.718281828.

Bukti Bentuk Polar

Bentuk polar ${\displaystyle e^{i\theta }}$ boleh dibuktikan dengan kaedah yang mudah.

Pertama, bermula dengan Siri Taylor bagi fungsi sinus dan kosinus;

${\displaystyle \mathrm {sin} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots }$

${\displaystyle \mathrm {kos} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots }$

Sekarang, gantikan ${\displaystyle x}$ dengan ${\displaystyle i\theta }$;

• ${\displaystyle \mathrm {sin} (i\theta )=i\theta -{\frac {{(i\theta )}^{3}}{3!}}+{\frac {{(i\theta )}^{5}}{5!}}-{\frac {{(i\theta )}^{7}}{7!}}+{\frac {{(i\theta )}^{9}}{9!}}-\cdots }$

${\displaystyle \,\,\,\,\,=i\theta +{\frac {i{\theta }^{3}}{3!}}-{\frac {i{\theta }^{5}}{5!}}+{\frac {i{\theta }^{7}}{7!}}-{\frac {i{\theta }^{9}}{9!}}+\cdots }$

• ${\displaystyle \mathrm {kos} (i\theta )=1-{\frac {{(i\theta )}^{2}}{2!}}+{\frac {{(i\theta )}^{4}}{4!}}-{\frac {{(i\theta )}^{6}}{6!}}+{\frac {{(i\theta )}^{8}}{8!}}-\cdots }$

${\displaystyle \,\,\,\,\,=1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots }$

Gantikan terbitan tersebut dalam ${\displaystyle \mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )}$;

${\displaystyle \mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )}$

${\displaystyle \,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )+i(i\theta +{\frac {i{\theta }^{3}}{3!}}-{\frac {i{\theta }^{5}}{5!}}+{\frac {i{\theta }^{7}}{7!}}-{\frac {i{\theta }^{9}}{9!}}+\cdots )}$

${\displaystyle \,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots }$

Sambil ini, sediakan Siri Taylor bagi ${\displaystyle e^{x}}$;

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\cdots }$

Gantikan ${\displaystyle x}$ dengan ${\displaystyle i\theta }$ dan menyusunkan terma tersebut;

${\displaystyle e^{i\theta }=1+i\theta +{\frac {{(i\theta )}^{2}}{2!}}+{\frac {{(i\theta )}^{3}}{3!}}+{\frac {{(i\theta )}^{4}}{4!}}+{\frac {{(i\theta )}^{5}}{5!}}\cdots }$

${\displaystyle e^{i\theta }=1+i\theta -{\frac {{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {{i\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {{i\theta }^{5}}{5!}}\cdots }$

${\displaystyle \,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots }$

Perhatikan bahawa ${\displaystyle e^{i\theta }}$ dan ${\displaystyle \mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )}$ bersamaan dengan ${\displaystyle \,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots }$.

Maka;

${\displaystyle \therefore e^{i\theta }=\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )}$

Ekstensi Domain Fungsi

Beberapa domain bagi beberapa fungsi asas boleh diperpanjangkan untuk menerima nombor kompleks.

Fungsi Trigonometrik

${\displaystyle \mathrm {sin} (z)={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}}$

${\displaystyle \mathrm {kos} (z)={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {tan} (z)=-{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}i}$

Fungsi Logaritma

Logaritma asli ialah logaritma yang mempunyai ${\displaystyle e}$ sebagai asasnya. Rumus logaritma asli yang mempunyai domain yang boleh menerima nombor kompleks adalah;

${\displaystyle \mathrm {ln} (z)=\mathrm {ln} (r)+i\theta }$

Di mana ${\displaystyle r}$ adalah nilai mutlak ${\displaystyle z}$ dan ${\displaystyle \theta }$ ialah argumen bagi ${\displaystyle z}$.

Dengan rumus ini, ekstensi domain logaritma asas ${\displaystyle n}$ boleh dirumuskan;

${\displaystyle \mathrm {log} _{n}(z)=\mathrm {log} _{n}(r)+{\frac {\theta }{\mathrm {ln} (n)}}i}$

Di mana ${\displaystyle n\in \mathbb {R} ^{+}}$, nombor positif nyata.

Aplikasi Nombor Kompleks

Matematik

Nombor kompleks merupakan konsep asas dalam bidang matematik. Nombor-nombor kompleks digunakan dalam banyak rumus dan teorem sepanjang bidang analisis kompleks, geometri, topologi, persamaan pembezaan dan sistem dinamikal.

Fizik

Dalam fizik, nombor kompleks digunakan dalam bidang seperti fizik kuantum.^[5] Antara contoh utama adalah persamaan Schrödinger;

${\displaystyle i{\bar {h}}{\frac {d}{dt}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle }$

Dalam perkataan Erwin Schrödinger,^[6]

"Apa yang tidak menyenangkan di sini, dan sememangnya perlu dibantah, adalah penggunaan nombor kompleks." - Erwin Schrödinger