Teorem Pythagoras

Dalam matematik, teorem Pythagoras adalah teorem yang mengaitkan ketiga-tiga sisi dalam segi tiga bersudut tegak. Teorem ini mengatakan bahawa, kuasa dua bagi hipotenus, iaitu sisi yang paling panjang, segi tiga bersudut tegak adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua bagi dua sisi lain.

Gambaran geometrik Teorem Pythagoras.

Teorem Pythagoras boleh dirumuskan seperti ini;

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$

dimana ${\displaystyle c}$ ialah hipotenus manakala ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah sisi lain. Rumusan ini juga mengimplikasikan beberapa rumusan yang lain;

• ${\displaystyle \Rightarrow c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Rightarrow a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$
• ${\displaystyle \Rightarrow b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$

Teorem Pythagoras dinamakan untuk ahli falsafah Yunani, Pythagoras. Beliau dilahir sekadar 570 SM. Teorem Pythagoras dibuktikan banyak kali dalam sejarah, dengan pelbagai kaedah dari geometrik ke algebra.

Kegunaan

Jarak

Teorem Pythagoras kebiasaannya digunakan untuk mengira jarak, terutamanya pada satah Cartes.

Jika wujud dua titik ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, maka jarak antara koordinat ${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ dan koordinat ${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$ adalah;

${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$

Jarak juga boleh digunakan untuk cari nilai mutlak bagi nombor kompleks. Secara asas, nilai mutlak bagi suatu nilai ${\displaystyle x}$ ditakrifkan sebagai jarak daripada ${\displaystyle 0}$ ke ${\displaystyle x}$. Menggunakan definisi ini, nilai mutlak bagi nombor kompleks adalah;

${\displaystyle |z|={\sqrt {\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}}}}$

dimana ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$ adalah bahagian nyata dan ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)}$ adalah bahagian khayalan.

.

Bukti

Pembuktian menggunakan segi tiga tegak

${\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}$

.

${\displaystyle {\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad e={\frac {b^{2}}{c}}\quad (2)}$.

.

Daripada gambar ${\displaystyle c=d+e\,\!}$. Kemudian dengan menggantikan persamaan (1) dan (2):

${\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}$

Mengalikan untuk c:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}$

Lihat juga

• Hukum kosinus

Pautan luar

• Teorem Pythagoras di MathWorld
• 75 bukti teorem Pythagoras