Identiteit van Brahmagupta-Fibonacci
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de algebra zegt de identiteit van Brahmagupta-Fibonacci, of alleen de identiteit van Fibonacci, die wij in feite te danken hebben aan Diophantus van Alexandrië, dat het product van twee sommen van elk twee kwadraten zelf ook een som van twee kwadraten is. Met andere woorden de verzameling van alle sommen van twee kwadraten is gesloten onder vermenigvuldiging. Meer specifiek:
Bijvoorbeeld is
De identiteit is een speciaal geval, met n = 2, van de identiteit van Lagrange. Hij wordt voor het eerst gevonden in het werk van Diophantus. Brahmagupta bewees en gebruikte een meer algemene identiteit, die equivalent is met
waaruit blijkt dat de verzameling van alle getallen van de vorm gesloten is onder de vermenigvuldiging.
Zowel (1) als (2) kunnen worden geverifieerd door expansie aan weerszijden van de vergelijking. Verder kan (2) uit (1) worden verkregen, of (1) uit (2), dit door b in -b te veranderen.
Deze identiteit geldt voor zowel de gehele getallen als de rationale getallen en geldt meer in het algemeen voor iedere commutatieve ring.
Voor het geval van de gehele getallen vindt deze identiteit toepassingen in de getaltheorie, bijvoorbeeld wanneer zij in combinatie met de stelling van Fermat over de som van twee kwadraten wordt gebruikt.