For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Injectie (wiskunde).

Injectie (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Injectieve, niet surjectieve functie
Injectieve, niet surjectieve functie

In de wiskunde is een injectie of injectieve afbeelding, ook eeneenduidige afbeelding of een-op-eenafbeelding genoemd, een afbeelding, waarbij geen twee verschillende elementen hetzelfde beeld hebben, dus anders gezegd ieder beeld een uniek origineel heeft. De definitie is voor functies hetzelfde. Een injectie is dus een soort relatie tussen twee verzamelingen. Twee verwante soorten relatie, die aan overeenkomstige eigenschappen voldoen, zijn de surjectie en de bijectie.

De aanduiding 'injectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie

De afbeelding heet een injectie of injectieve afbeelding als voor alle geldt:

Voorbeeld en tegenvoorbeeld

  • Beschouw de afbeelding , gedefinieerd door . Deze afbeelding is injectief, aangezien uit de gelijkheid van de beelden van en : , volgt dat de originelen en gelijk zijn.
  • Beschouw daarentegen de afbeelding , gedefinieerd door . Deze is niet injectief, omdat bijvoorbeeld , dus er verschillende originelen zijn met hetzelfde beeld.

Eigenschappen

  • Zijn twee functies en injectief, dan geldt dit ook voor de samengestelde functie .
  • Gegeven dat injectief is, dan is ook injectief.
  • Een functie is injectief dan en slechts dan als voor iedere verzameling en ieder tweetal functies de logische implicatie geldt. Dit betekent dat, in de categorie van verzamelingen en functies, de monomorfismen precies de injectieve functies zijn.
  • Een functie is injectief dan en slechts dan als zij een inverse heeft, dat wil zeggen een functie met de eigenschap dat . Hier wordt met de identieke afbeelding bedoeld. De definitie kan eventueel ook tot de linksinverse worden beperkt.
  • Als injectief is, dan is , dat wil zeggen dezelfde functie, waarin alleen het codomein is vervangen door het beeld , bijectief. Hier is dus in ieder geval .
  • Voor twee verzamelingen en wordt de notatie wel gebruikt om aan te geven dat er een injectie bestaat. In dit geval heeft minstens evenveel elementen als . Om hierover voor oneindige verzamelingen iets te kunnen zeggen wordt de kardinaliteit ingevoerd. Als er een injectie en een injectie bestaan, is er volgens de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder ook een bijectie tussen en .
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Injectie (wiskunde)
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.