Rekenkundig getal
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
Een natuurlijk getal heet een rekenkundig getal als het rekenkundig gemiddelde van zijn delers een geheel getal is.
Het rekenkundig gemiddelde van de delers van noemt men de rekenkundige functie
:
Hierin is de som van alle positieve delers van
en
het aantal positieve delers van
. Als
een geheel getal is, dus als
een deler is van
, heet
een rekenkundig getal.
Voorbeeld: 14 heeft als delers 1, 2, 7 en 14. Het rekenkundig gemiddelde daarvan is (1+2+7+14)/4 = 6, dus 14 is een rekenkundig getal. Het getal 12 is geen rekenkundig getal, want de som van de delers van 12 is 1+2+3+4+6+12 = 28 en het gemiddelde 28/6 is geen geheel getal.
De eerste rekenkundige getallen zijn:
- 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, ...[1]
De functie is een multiplicatieve functie. Immers
en
zijn beide multiplicatieve functies. Hieruit volgt dat als twee rekenkundige getallen relatief priem zijn, hun product ook een rekenkundig getal is.
Elk oneven priemgetal is een rekenkundig getal; immers de delers ervan zijn 1 en
, en
is een geheel getal omdat
een even getal is. 2 is geen rekenkundig getal en ook geen enkele macht van 2 is een rekenkundig getal.[2]
De asymptotische dichtheid van de verzameling van rekenkundige getallen is gelijk aan 1.[3]
Voor elk getal bestaat er een geheel getal
, zodanig datde vergelijking
ten minste
oplossingen heeft.[3]