Parallellepipedum

Een parallellepipedum of blok is een veelvlak met zes parallellogrammen als zijvlak, acht hoekpunten en twaalf ribben, waarvan alle overstaande vlakken evenwijdig en twee-aan-twee – gezien vanaf de buitenkant – elkaars spiegelbeeld zijn.

Drie equivalente definities van een parallellepipedum zijn:

• een veelvlak met zes zijden (zesvlak), die alle zes een parallellogram zijn;
• een zesvlak met drie paren van evenwijdige zijden;
• een prisma, waarvan het grondvlak een parallellogram is.

De balk (zes rechthoekige zijden), kubus (zes vierkante zijden) en de romboëder (zes ruitvormige zijden) zijn alle specifieke gevallen van een parallellepipedum.

Een bijzondere eigenschap van het parallellepipedum is dat identieke (congruente) exemplaren aansluitend op elkaar gestapeld kunnen worden, waarbij de combinatie ook weer een parallellepipedum kan zijn. Bij een balk geldt daarbij ook de praktische stapelbaarheid: het zwaartepunt van het geheel blijft boven een steunpunt.

Etymologie

Het woord parallellepipedum is Latijn en is afgeleid van het Griekse στερεόν παραλλελεπίπεδον - stereon par-allel-epi-pedon. Dit betekent lichaam begrensd door evenwijdige opstaande vlakken (Gr. επίπεδον = vlak). De schrijfwijze met dubbel l, die gevormd is door incorrecte uitspraak c.q. om incorrecte uitspraak te voorkomen, zou eigenlijk parallelepipedum (en dan afgebroken als par·allel·epi·pe·dum) moeten zijn. De onjuiste schrijfwijze parallellopipedum is ontstaan onder invloed van het woord parallellogram.^[1][2]

Volume

Wanneer de drie driedimensionale vectoren ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle C}$ het parallellepipedum opspannen, dan is het volume ${\displaystyle V}$ hiervan:

${\displaystyle {\begin{matrix}V=|A\cdot (B\times C)|\\=|C\cdot (A\times B)|\\=|B\cdot (C\times A)|\end{matrix}}}$

Zijn de drie vectoren ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}A=(a_{1},a_{2},a_{3})\\B=(b_{1},b_{2},b_{3})\\C=(c_{1},c_{2},c_{3})\end{matrix}}}$

dan is

${\displaystyle V={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{3}+b_{1}\cdot c_{2}\cdot a_{3}+c_{1}\cdot a_{2}\cdot b_{3}-c_{1}\cdot b_{2}\cdot a_{3}-b_{1}\cdot a_{2}\cdot c_{3}-a_{1}\cdot c_{2}\cdot b_{3}}$

Noot

1. E.J. Dijksterhuis, W. van der Wielen (1948): Vreemde woorden in de wiskunde. Groningen: P. Noordhoff N.V.; pag. 77.
2. W. Sterenborg (1988): Spellen met ellen. In: Onze Taal, jrg. 57, nr. 9, p. 135 (via: DBNL)