Stelling van Cayley

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, zegt de stelling van Cayley dat elke eindige groep ${\displaystyle G}$ isomorf is met een ondergroep van een symmetrische groep. In het bijzonder is ${\displaystyle G}$ isomorf met een ondergroep van de symmetrische groep van ${\displaystyle G}$ zelf, die uit de permutaties van ${\displaystyle G}$ bestaat.

Geschiedenis

Hoewel Burnside^[1] de stelling toeschrijft aan Jordan^[2], is volgens Eric Nummela^[3] de juiste naam voor deze stelling : "de Stelling van Cayley". In zijn oorspronkelijk artikel uit 1854^[4], waarin hij het begrip van een groep introduceerde, toonde Caley volgens Nummela aan dat de 'correspondentie' in de stelling een op een is, maar hij slaagde er niet om expliciet aan te tonen dat er sprake was van een homoformisme (en dus een isomorfisme). Nummela merkt op dat Cayley dit resultaat 16 jaar voor Jordan publiceerde.

Bewijs van de Stelling van Cayley

Definieer voor ${\displaystyle g\in G}$ de afbeelding ${\displaystyle \varphi _{g}\colon G\to G}$ door ${\displaystyle \varphi _{g}(x)=gx}$. Dan is ${\displaystyle \varphi _{g}\in \mathrm {Sym} (G)}$ en is ${\displaystyle H=\{\varphi _{g}|g\in G\}\subset \mathrm {Sym} (G)}$. Voor de transformatie ${\displaystyle T\colon G\to H}$ met ${\displaystyle T(g)=\varphi _{g}}$ geldt:

${\displaystyle T(gg')(x)=\varphi _{gg'}(x)=gg'x=\varphi _{g}(g'x)=T_{g}(g'x)=T_{g}T_{g'}(x)}$

dus ${\displaystyle T}$ is een homomorfisme.

Verder is ${\displaystyle H=T(G)}$ en is ${\displaystyle T}$ injectief, dus bijectief, en dus een isomorfisme.

Opmerking

Voor de definitie van ${\displaystyle \varphi _{g}}$ is in dit bewijs gebruikgemaakt van de vermenigvuldiging van links met ${\displaystyle g}$, maar het bewijs kan ook geformuleerd worden met de rechtsvermenigvuldiging.

Zie ook

• Groep (wiskunde),
• Arthur Cayley,
• Stelling van Lagrange (groepentheorie),
• Stelling van Burnside,
• Stellingen van Sylow,

Voetnoten

1. (en) Burnside,William, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge, 1911, 2de editie
2. (fr) Jordan,Camille, Traite des substitutions et des equations algebriques, Gauther-Villars, Parijs, 1870
3. (en) Nummela,Eric, Cayley's Theorem for Topological Groups, American Mathematical Monthly, vol 87, issue 3, 1980, 202-203
4. (en) Cayley,Arthur, On the theory of groups as depending on the symbolic equation θⁿ=1, Phil. Mag, vol 7, issue = 4, pages = 40-47, 1854