Boltzmannkonstanten

Boltzmannkonstanten (k eller k_B) er ein fysisk konstant som knyter energien på partikkelnivå til temperaturen. Han er definert som gasskonstanten R delt på Avogadrokonstanten N_A:

${\displaystyle k={\frac {R}{N_{\rm {A}}}}.\,}$

For konstant knytt til energien frå ein svart lekam, sjå Stefan-Boltzmann-konstanten

k-verdiar[1]	Eining
1,380 6504(24)×10−23	J K−1
8,617 343(15)×10−5	eV K−1
1,380 6504(24)×10−16	erg K−1

Han har same eininga som entropi. Konstanten er kalla opp etter den austerrikske fysikaren Ludwig Boltzmann.

Frå makroskopisk til mikroskopisk fysikk

Boltzmannkonstanten k fungerer som ei bru mellom makroskopisk og mikroskopisk fysikk. Makroskopisk sett seier den ideelle gasslova at for ein ideell gass er produktet mellom trykket p og volumet V proporsjonal med produktet til mengda av stoffet n og absolutt temperatur T:

${\displaystyle \ pV=nRT,}$

der R er gasskonstanten (8,314 472(15) J K⁻¹ mol⁻¹). Ved å innføre Boltzmannkonstanten omformar ein den ideelle gasslova til ei likning baset på dei mikroskopiske eigenskapane til molekyla,

${\displaystyle pV=NkT\,,}$

der N er talet på molekyl i gassen.

Rolla i energi

I eit visst termodynamisk system med ein absolutt temperatur T, har den termiske energien som kvar mikroskopiske «fridomsgrad» i systemet ber ein storleiksorden på kT/2 (til dømes om lag 2,07×10⁻²¹ J, eller 0.013 eV ved romtemperatur).

Bruk i enkel termodynamikk for gassar

I klassisk statistisk mekanikk gjeld denne energien akkurat for homogene ideelle gassar. Monoatomiske ideele gassar har tre fridomsgrader per atom, som viser til dei tre romlege retningane, og dette tyder ein termisk energi på 1,5kT per atom. Dette samsvarar godt med eksperimentelle data. Den termiske energien kan nyttast til å rekne ut rotmiddelkvadratet av farten til atoma, som er omvendt proporsjonal med kvadratrota av atommasseen. Rotmiddelkvadratet av farten ved romtemperatur varierer frå 1370 m/s for helium, ned til 240 m/s for xenon.

Kinetisk teori gjev det midla trykket p for ein ideell gass som

${\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.}$

Ved å setje inn at den midla kinetiske translasjonsenergien er

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}kT}$

får ein

${\displaystyle p={\frac {NkT}{V}}}$

som igjen er den ideelle gasslikninga.

Denne ideelle gasslikninga kan òg godt nyttast for molekylære gassar, men forma for varmekapasitet er meir komplisert sidan molekyla har fleire interne fridomsgrader. To-atomiske gassar har til dømes fem fridomsgrader per molekyl (rotasjon og vibrasjon i tillegg til dei tre romlege).

Rolle i definisjonen av entropi

I statistisk mekanikk er entropien S av eit system definert som den naturlege logaritmen til Ω, talet på forskjellige mikroskopiske tilstandar tilgjengeleg for systemet ut frå dei makroskopiske avgrensingane (slik som ein konstant total energi E)

${\displaystyle S=k\,\ln \Omega }$

Proporsjonalitetskonstanten k er Boltzmannskonstanten. Denne likninga, som relaterer dei mikroskopiske detaljane i systemet (via Ω) til den makroskopiske tilstanden (via entropien S), er den sentrale ideen i statistisk mekanikk.

Verdiar i forskjellige einingar

k-verdiar	Einingar	Kommentar
1,380 6504(24)×10−23	J/K	SI-eining[1]
8,617 343(15)×10−5	eV/K	1 elektronvolt = 1,602 176 53(14)×10−19]] J 1/kB = 11 604.51(2) K/eV
2,083 6644(36)×1010	Hz/K	1 Hz = 6,626 068 96(33)×10−34 J
3,166 815(36)×10−6	EH/K	EH = 2R∞hc = 4,359 743 94(22)×10−18 J
1,380 6504(24)×10−16	erg/K	1 erg = 1×10−7 J
3,297 6268(56)×10−24	cal/K	1 kalori = 4,1868 J
1,832 0149(31)×10−24	cal/R	1 rankine = 4/9 K
0,695 0356(12)	cm−1/K	1 cm−1 = 1,986 445 501(99)×10−23 J

Sidan k er ein proprosjonalitetskonstant for temperatur og energi er den numeriske k-verdien avhengig av kvar einingar ein vel for energi og temperatur. Den særs låge numeriske k-verdien viser berre kor små energimengder som skal til for å auke temperaturen til partikkelen med 1 K.